Seja f(x, y)=x^{2} y-y^{2} x. No ponto (1,-1), calcule a derivada direcional de f na direção do vetor \mathbf{v}=(4,3) (use o vetor unitário na direção de \mathbf{v} ).
A. -\frac{3}{5}
B. \frac{14}{5}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=x^{2}y-y^{2}x\;, o ponto \;(1,-1)\; e o vetor de direção \;\mathbf{v}=(4,3)\;. Pede-se a derivada direcional de f no ponto dado, na direção de \mathbf{v}, usando o vetor unitário nessa direção.
Informações relevantes:
  • Função: \;f(x,y)=x^{2}y-y^{2}x\;.
  • Ponto onde avaliamos: \;(1,-1)\;.
  • Vetor de direção (não-unitário): \;\mathbf{v}=(4,3)\;.
  • Deve-se usar o vetor unitário na direção de \mathbf{v} ao calcular a derivada direcional.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar — explicando devagar: a derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos no sentido de \mathbf{u}. A fórmula prática (muito usada em provas) é
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(x,y) é o gradiente de f, que é o vetor dos derivados parciais: \nabla f=(\,\partial f/\partial x\,,\,\partial f/\partial y\,).
  • O símbolo \cdot significa produto escalar (dot product) entre dois vetores: se \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2) então \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2.
  • \mathbf{u} deve ser unitário: \|\mathbf{u}\|=1. Se eu mám um vetor \mathbf{v}, o vetor unitário na sua direção é \mathbf{u}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|.

Passo 3

Calcular os derivados parciais de f. Vou aplicar a regra do produto com calma.
A função é \;f(x,y)=x^{2}y - y^{2}x\;.
Derivada parcial em relação a x:
  • Derivando x^{2}y em relação a x: trata-se de x^2 vezes y (onde y é tratado como constante), então a derivada é 2x\cdot y.
  • Derivando -y^{2}x em relação a x: aqui -y^{2} é constante multiplicando x, então a derivada é -y^{2}.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy-y^{2}.
Derivada parcial em relação a y:
  • Derivando x^{2}y em relação a y: x^{2} é constante, então dá x^{2}.
  • Derivando -y^{2}x em relação a y: usar regra do produto para y^{2} (mas x é constante), a derivada é -2y\cdot x.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}-2xy.
Logo o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\bigl(2xy-y^{2},\;x^{2}-2xy\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto \;(1,-1)\;. Substituo x=1 e y=-1 nas expressões obtidas.
Para a componente x:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(1,-1)} = 2\cdot 1\cdot(-1) - (-1)^{2} = -2 - 1 = -3.
Para a componente y:
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(1,-1)} = 1^{2} - 2\cdot 1\cdot(-1) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3.
Portanto
\nabla f(1,-1)=(-3,\,3).

Passo 5

Encontrar o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}=(4,3).
Calculo da norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).

Passo 6

Agora aplico a fórmula da derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot \mathbf{u}.
Substituindo os vetores:
D_{\mathbf{u}}f(1,-1)=(-3,\,3)\cdot\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).
Faço o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}f(1,-1)=(-3)\cdot\frac{4}{5} + 3\cdot\frac{3}{5}=\frac{-12+9}{5}=\frac{-3}{5}.
Interpretação rápida (pra te animar): o valor negativo significa que, ao seguir na direção de (4,3) a partir de (1,-1), a função f diminui, com taxa -\tfrac{3}{5}.

Resposta

A

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