Obtenha o polinômio de Taylor de grau n da função f em torno do ponto a, para os valores de n e a indicados:
f(x)=raizx, a=4, n=3.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=3 da função f(x)=raizx em torno de a=4. Para isso usamos o Teorema de Taylor que diz que
T3(x)=sumk=0^3f^(k)(4)k!(x-4)^k

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f(x)=x^1/2:
f'(x)=tfrac12x^-1/2,
f''(x)=-tfrac14x^-3/2,
f'''(x)=tfrac38x^-5/2

Passo 3

Agora avaliamos cada derivada em x=4:
f(4)=raiz4=2, f'(4)=tfrac12cdot4^-1/2=tfrac12cdottfrac12=tfrac14,
f''(4)=-tfrac14cdot4^-3/2=-tfrac14cdottfrac18=-tfrac132, f'''(4)=tfrac38cdot4^-5/2=tfrac38cdottfrac132=tfrac3256

Passo 4

Substituímos no polinômio de Taylor
T3(x)=f(4)+f'(4)(x-4)+f''(4)2!(x-4)^2+f'''(4)3!(x-4)^3

Passo 5

Basta simplificar os coeficientes:
f''(4)2!=-1/322=-164, f'''(4)3!=3/2566=1512

Resposta

T3(x)=2+14(x-4)-164(x-4)^2+1512(x-4)^3

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