Obtenha o Polinômio de Taylor de ordem n das funções dadas abaixo para aproximá-las nas vizinhanças dos pontos a dados:
p(x)=x^{4}-3 x^{2}+2 x-4, n=5, a=1.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=5 da função
p(x)=x^4-3x^2+2x-4
em torno de a=1. Vamos usar a fórmula geral de Taylor:
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{p^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

Passo 2

Calcular as derivadas até a quarta ordem e avaliá-las em x=1:
p(x)=x^4-3x^2+2x-4,\quad p'(x)=4x^3-6x+2,\quad p''(x)=12x^2-6,
p'''(x)=24x,\quad p^{(4)}(x)=24,\quad p^{(5)}(x)=0.
Avaliações em x=1:
p(1)=1-3+2-4=-4,\quad p'(1)=4-6+2=0,\quad p''(1)=12-6=6,
p'''(1)=24,\quad p^{(4)}(1)=24,\quad p^{(5)}(1)=0.

Passo 3

Substituir na fórmula de Taylor de ordem 5:
T_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{p^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k =-4+\frac{0}{1!}(x-1)+\frac{6}{2!}(x-1)^2+\frac{24}{3!}(x-1)^3+\frac{24}{4!}(x-1)^4+\frac{0}{5!}(x-1)^5.

Passo 4

Simplificar os coeficientes:
\frac{6}{2!}=3,\quad \frac{24}{3!}=4,\quad \frac{24}{4!}=1,
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T_5(x)=-4+3(x-1)^2+4(x-1)^3+(x-1)^4.

Resposta

T_5(x)=-4+3(x-1)^2+4(x-1)^3+(x-1)^4.

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