Obtenha o Polinômio de Taylor de ordem n das funções dadas abaixo para aproximá-las nas vizinhanças dos pontos a dados:
p(x)=x^{4}-3 x^{2}+2 x-4, n=3, a=1.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=3 da função
p(x)=x^{4}-3x^{2}+2x-4
em torno do ponto a=1.
O conteúdo aqui é polinômio de Taylor: usamos a fórmula
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{p^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^{k}.
Para resolver, precisamos calcular p(a), p'(a), p''(a) e p'''(a).

Passo 2

Calculemos as derivadas até a terceira ordem e avalie em x=1.
p(x)=x^{4}-3x^{2}+2x-4
p'(x)=4x^{3}-6x+2,\quad p''(x)=12x^{2}-6,\quad p'''(x)=24x.
Agora em x=1:
p(1)=1-3+2-4=-4,
p'(1)=4-6+2=0,
p''(1)=12-6=6,
p'''(1)=24.

Passo 3

Agora montamos
T_{3}(x)=p(1)+p'(1)(x-1)+\frac{p''(1)}{2!}(x-1)^{2}+\frac{p'''(1)}{3!}(x-1)^{3}.
Substituindo os valores:
T_{3}(x)=-4+0\cdot(x-1)+\frac{6}{2}(x-1)^{2}+\frac{24}{6}(x-1)^{3},
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T_{3}(x)=-4+3\,(x-1)^{2}+4\,(x-1)^{3}.

Resposta

T_{3}(x)=-4+3\,(x-1)^{2}+4\,(x-1)^{3}.

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