Obtenha o Polinômio de Taylor de ordem n das funções dadas abaixo para aproximá-las nas vizinhanças dos pontos a dados:
u(x)=e^{x}, n=6, a=0.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=6 da função u(x)=e^{x} no ponto a=0. A matéria envolvida é série de Taylor (ou Maclaurin, pois a=0), e vamos precisar da definição geral do polinômio de Taylor e do fato de que todas as derivadas de e^{x} são iguais a e^{x}.

Passo 2

A definição do polinômio de Taylor de ordem n de uma função u em torno de a é
P_{n}(x) =\sum_{k=0}^{n}\frac{u^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^{k}.
No nosso caso, a=0, então fica
P_{6}(x) =\sum_{k=0}^{6}\frac{u^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k}.

Passo 3

Para u(x)=e^{x}, temos
u^{(k)}(x)=e^{x} \quad\Longrightarrow\quad u^{(k)}(0)=e^{0}=1,
para todo k\ge0.

Passo 4

Substituindo u^{(k)}(0)=1 na fórmula do polinômio, obtemos
P_{6}(x) =\sum_{k=0}^{6}\frac{1}{k!}\,x^{k} =1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{5}}{5!} + \frac{x^{6}}{6!}.

Resposta

P_{6}(x)=1 + x + \tfrac{x^{2}}{2!} + \tfrac{x^{3}}{3!} + \tfrac{x^{4}}{4!} + \tfrac{x^{5}}{5!} + \tfrac{x^{6}}{6!}.

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