Obtenha o Polinômio de Taylor de ordem n das funções dadas abaixo para aproximá-las nas vizinhanças dos pontos a dados:
c(x)=\cos x, n=7, a=0.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=7 da função c(x)=\cos x em torno de a=0. O conteúdo que vamos usar é a definição de polinômio de Taylor:
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.

Passo 2

Calculamos as derivadas de c(x)=\cos x e avaliamos em x=0, sabendo que elas ciclam a cada quatro:
  • f(x)=\cos x \implies f(0)=1
  • f'(x)=-\sin x \implies f'(0)=0
  • f''(x)=-\cos x \implies f''(0)=-1
  • f'''(x)=\sin x \implies f'''(0)=0
  • f^{(4)}(x)=\cos x \implies f^{(4)}(0)=1
  • f^{(5)}(x)=-\sin x \implies f^{(5)}(0)=0
  • f^{(6)}(x)=-\cos x \implies f^{(6)}(0)=-1
  • f^{(7)}(x)=\sin x \implies f^{(7)}(0)=0

Passo 3

Substituímos esses valores na fórmula de Taylor com a=0:
T_7(x) =\sum_{k=0}^{7}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k =\frac{1}{0!}x^0+\frac{0}{1!}x^1+\frac{-1}{2!}x^2+\frac{0}{3!}x^3 +\frac{1}{4!}x^4+\frac{0}{5!}x^5+\frac{-1}{6!}x^6+\frac{0}{7!}x^7.

Passo 4

Observando que todos os termos ímpares são nulos, obtemos
T_7(x) =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}.

Resposta

T_7(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}.

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