Seja p_{n . f(a)}(h) o Polinômio de Taylor de ordem n da função n-vezes derivável f em torno de um ponto a. Calcule as derivadas de ordem 0 a n do polinômio p no ponto h=0.

Passo 1

O enunciado define o polinômio de Taylor de ordem n de uma função f n-vezes derivável em torno de a, dado por
p(h)=p_{n,f(a)}(h)=\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}\,h^j
e pede para calcular as derivadas de ordem 0 a n de p no ponto h=0.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
p(h)=\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}\,h^j.

Passo 3

Seja k um inteiro com 0\le k\le n. Ao derivar p k vezes, cada termo \tfrac{f^{(j)}(a)}{j!}h^j com j<k some e, para j\ge k, obtemos
p^{(k)}(h) =\sum_{j=k}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}\,\frac{d^k}{dh^k}\bigl(h^j\bigr) =\sum_{j=k}^n \frac{f^{(j)}(a)}{j!}\,\frac{j!}{(j-k)!}\,h^{\,j-k} =\sum_{m=0}^{n-k}\frac{f^{(m+k)}(a)}{m!}\,h^m.

Passo 4

Ao avaliar em h=0, apenas o termo m=0 permanece, pois h^m\big|_{h=0}=0 para m\ge1. Logo
p^{(k)}(0) =\frac{f^{(k)}(a)}{0!}\,0^0 =f^{(k)}(a).

Resposta

Para todo k=0,1,\dots,n, tem-se
p^{(k)}(0)=f^{(k)}(a).

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