Obtenha o ponto de interseção da reta r com o plano Pi e o seno do ângulo de incidência de r em Pi, onde:
r:lx=1-2 t y=-2+t ; z=2+2 t t in R e pi:lx=5+2 s+t y=-4-s z=-2+s+t ; s, t in R.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x=1-2t, y=-2+t, z=2+2t, tinR
e o plano
Pi: x=5+2s+t, y=-4-s, z=-2+s+t, s,tinR
Queremos: (a) o ponto de interseção de r com Pi e (b) o seno do ângulo de incidência de r em Pi. Para isso usaremos (i) solução de sistema para achar o parâmetro que faz o ponto de r cair em Pi e (ii) definição de ângulo entre reta e normal ao plano, usando produto vetorial.

Passo 2

Para evitar confundir o
Igualamos as coordenadas de um ponto genérico de :
Da segunda equação vem
Substituindo em e .

Passo 3

Substituindo t=-2 em r obtemos o ponto de interseção
P = l(1-2(-2),,-2+(-2),,2+2(-2)r) = (5,,-4,,-2)

Passo 4

A direção de r é o vetor
d = (-2,,1,,2)
O plano é gerado pelos vetores
u = (2,-1,1) (variação em u) e
v = (1,0,1) (variação em v).
Um vetor normal a Pi é
n = u times v = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & 0 & 1 = (-1,-1,1)

Passo 5

O ângulo theta de incidência é o ângulo entre d e n, cujo seno vale
sintheta = | dtimes n|| d|;| n|
Calculamos
dtimes n = (3,0,3), | dtimes n| = 3raiz2, | d|=3, | n|=raiz3,
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sintheta = 3raiz23cdotraiz3 = raiz23

Resposta

Ponto de interseção: (5,-4,-2).
Seno do ângulo de incidência: raiztfrac23.

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