Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q(6,-5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o ponto $ P $ que está no eixo das ordenadas (ou seja, no eixo $ y $) e que está 10 unidades de distância do ponto $ Q(6, -5) $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula da distância entre dois pontos. Se temos dois pontos, $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
A(x1, y1)
Nesse caso, queremos que a distância $ d $ seja 10 unidades.

Passo 3

Como o ponto $ P $ está no eixo das ordenadas, sua coordenada $ x $ é sempre 0. Então, podemos representar $ P $ como $ (0, y) $. Já temos o ponto $ Q(6, -5) $.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da distância entre $ P(0, y) $ e $ Q(6, -5) $:
P(0, y)
Simplificando:
Q(6, -5)
10 = raiz(6 - 0)^2 + (-5 - y)^2

Passo 5

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
10^2 = 36 + (-5 - y)^2
100 = 36 + (-5 - y)^2

Passo 6

Agora, vamos isolar o termo com $ y $:
y
100 - 36 = (-5 - y)^2

Passo 7

Para resolver a equação $ 64 = (-5 - y)^2 $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
64 = (-5 - y)^2
raiz64 = -5 - y

Passo 8

Resolvendo cada caso separadamente:
Primeiro caso:
8 = -5 - y
y = -5 - 8
y = -13
Segundo caso:
-8 = -5 - y
-8 + 5 = -y
-3 = -y
y = 3

Resposta

Os pontos $ P $ no eixo das ordenadas que estão a 10 unidades de distância do ponto $ Q(6, -5) $ são $ P(0, 3) $ e $ P(0, -13) $.

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