Obtenha as primeiras derivadas parciais de cada função:
z(x, y)=arctan raizx^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z(x,y)=arctanraizx^2-y^2,x^2+y^2,
ou seja, queremos partial zpartial x e partial zpartial y.
O que vamos usar: regra da cadeia para a composição arctan(u) e u=raizA, e regra do quociente para A=(x^2-y^2)/(x^2+y^2).

Passo 2

Definimos as funções internas em camadas:
A(x,y)=x^2-y^2,x^2+y^2,,
u(x,y)=raizA(x,y),
z(x,y)=arctanl(u(x,y)r)

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia em duas etapas. Primeiro, para z=arctan(u) temos
partial zpartial(cdot) =11+u^2,partial upartial(cdot)
Segundo, para u=raizA
partial upartial(cdot) =12raizA;partial Apartial(cdot)

Passo 4

Agora usamos a regra do quociente para A=(x^2-y^2)/(x^2+y^2). Denotando N=x^2-y^2 e D=x^2+y^2:
partial Apartial x =Dcdot2x - Ncdot2xD^2 =2xl((x^2+y^2)-(x^2-y^2)r)(x^2+y^2)^2 =4x,y^2(x^2+y^2)^2,
partial Apartial y =Dcdot(-2y)-Ncdot2yD^2 =-2yl((x^2+y^2)+(x^2-y^2)r)(x^2+y^2)^2 =-4x^2,y(x^2+y^2)^2

Passo 5

Computamos partial zpartial x juntando tudo:
partial zpartial x =11+u^2,12raizA;partial Apartial x
Mas 1+u^2=1+A=2x^2x^2+y^2. Assim,
partial zpartial x =x^2+y^22x^2,12raizA;4x,y^2(x^2+y^2)^2 =y^2,xraizA,(x^2+y^2),
Como raizA=raizx^2-y^2x^2+y^2 =raizx^2-y^2raizx^2+y^2, fica
partial zpartial x =y^2,xraizx^2-y^2,raizx^2+y^2,

Passo 6

De modo análogo para partial zpartial y:
partial zpartial y =11+u^2,12raizA;partial Apartial y =x^2+y^22x^2,12raizA;l(-4x^2y(x^2+y^2)^2r) =-yraizA,(x^2+y^2)
Substituindo raizA como antes, obtemos
partial zpartial y =-yraizx^2-y^2,raizx^2+y^2

Resposta

partial zpartial x =y^2,xraizx^2-y^2,raizx^2+y^2,, partial zpartial y =-yraizx^2-y^2,raizx^2+y^2

Exercícios relacionados