Obtenha as primeiras derivadas parciais de cada função:
z(x, y)=arcsen(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
z(x,y)=arcsen(x+y)
O conteúdo-chave aqui é derivada de função composta (regra da cadeia) aplicada à função umapstoarcsen(u), onde u=x+y.

Passo 2

Para calcular partial zpartial x, definimos
u = x + y,
de modo que z = arcsen(u). Então, pela regra da cadeia,
partial zpartial x = ddul[arcsen(u)r]cdotpartial upartial x
Sabemos que
ddul[arcsen(u)r] = 1raiz1-u^2 e partial upartial x=1
Logo,
partial zpartial x = 1raiz1-u^2cdot1 = 1raiz1-(x+y)^2

Passo 3

O cálculo de partial zpartial y é análogo, pois também u=x+y varia com y de forma unitária. Assim,
partial zpartial y = ddul[arcsen(u)r]cdotpartial upartial y = 1raiz1-u^2cdot1 = 1raiz1-(x+y)^2

Resposta

partial zpartial x = 1raiz1-(x+y)^2,
partial zpartial y = 1raiz1-(x+y)^2

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