2.9L Considere a transformação T:lu=e^x+y^3 v=3 e^x-2 y^3.
(a) Calcule o jacobiano da transformação T e de sua inversa;
(b) Calcule as derivadas partial xpartial u e partial ypartial v no ponto em que x=0 e y=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: dado a transformação \r
\r
precisamos (a) calcular o jacobiano partial(u,v)partial(x,y) e o da inversa e (b) obter partial xpartial u e partial ypartial v no ponto (x,y)=(0,1). Vamos usar derivadas parciais, determinante de matriz 2times2 e a fórmula da matriz inversa.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x e y. \r
partial upartial x = e^x, partial upartial y = 3y^2,
partial vpartial x = 3e^x, partial vpartial y = -6y^2

Passo 3

O jacobiano de T é o determinante
J = detpartial(u,v)partial(x,y) = e^x & 3y^2[6pt] 3e^x & -6y^2 = e^xcdot(-6y^2) - 3y^2cdot3e^x = -15e^x y^2
Logo o jacobiano da inversa é
detpartial(x,y)partial(u,v) =1J =-115e^x y^2 ]

Passo 4

Para extrair e usamos a fórmula da inversa de matriz . Se
então
No nosso caso , , , , e . Assim

Passo 5

Avaliando em (x,y)=(0,1): temos e^0=1 e y^2=1, então
partial xpartial u|(0,1)=25, partial ypartial v|(0,1)=-115

Resposta

(a) detpartial(u,v)partial(x,y)=-15e^x y^2, \quad detpartial(x,y)partial(u,v)=-115e^x y^2
(b) partial xpartial u|(0,1)=25, \quad partial ypartial v|(0,1)=-115

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