Obtenha as primeiras derivadas parciais de cada função:
u(x, y, z)=e^xy+e^zy

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
u(x,y,z)=e^xy+e^zy
O conteúdo envolve derivação de funções exponenciais compostas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para partial upartial x observamos que apenas o termo e^xy depende de x. Aplicando a regra da cadeia:
partialpartial xe^xy = e^xycdotpartialpartial xl(xyr) = e^xycdot1y
Logo,
partial upartial x=1y,e^xy

Passo 3

Para partial upartial z apenas o termo e^zy depende de z. De modo análogo:
partialpartial ze^zy = e^zycdotpartialpartial zl(zyr) = e^zycdot1y
Portanto,
partial upartial z=1y,e^zy

Passo 4

Para partial upartial y ambos os termos dependem de y. Usamos a regra da cadeia em cada um:
partialpartial ye^xy = e^xycdotpartialpartial yl(xyr) = e^xycdotl(-xy^2r) = -xy^2,e^xy,
partialpartial ye^zy = e^zycdotpartialpartial yl(zyr) = e^zycdotl(-zy^2r) = -zy^2,e^zy
Somando os dois resultados,
partial upartial y = -xy^2,e^xy -zy^2,e^zy = -x,e^xy+z,e^zyy^2

Resposta

partial upartial x=1y,e^xy,
partial upartial y=-x,e^xy+z,e^zyy^2,
partial upartial z=1y,e^zy

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