Obtenha os primeiros termos das séries de Taylor/Laurent das funções abaixo (em torno da origem):
\operatorname{tg} z=z+\frac{1}{3} z^{3}-\frac{2}{15} z^{5}+\frac{17}{315} z^{7}+\ldots,|z|<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de \tan z em torno de 0. Para isso vamos usar as séries conhecidas de \sin z e \cos z e a relação
\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}.

Passo 2

Expandimos \sin z e \cos z até a ordem z^7:
\sin z = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \frac{z^7}{5040} + O(z^9),
\cos z = 1 - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24} - \frac{z^6}{720} + O(z^8).

Passo 3

Calculamos a série de \operatorname{sec} z = \frac{1}{\cos z} até a ordem z^6. Supondo
\operatorname{sec} z = 1 + a_2 z^2 + a_4 z^4 + a_6 z^6 + \cdots
e impondo (\cos z)(\operatorname{sec} z)=1, obtém-se
\operatorname{sec} z = 1 + \frac{z^2}{2} + \frac{5\,z^4}{24} + \frac{61\,z^6}{720} + O(z^8).

Passo 4

Multiplicamos as séries de \sin z e \operatorname{sec} z para achar \tan z:
\tan z = (\sin z)\,(\operatorname{sec} z) = \Bigl(z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \frac{z^7}{5040}\Bigr) \Bigl(1 + \frac{z^2}{2} + \frac{5\,z^4}{24} + \frac{61\,z^6}{720}\Bigr) + O(z^9).

Passo 5

Coletando termos de mesma potência de z e simplificando, chega-se a
\tan z = z + \frac{1}{3}z^3 + \frac{2}{15}z^5 + \frac{17}{315}z^7 + O(z^9).

Resposta

\displaystyle \tan z = z + \frac{1}{3}z^3 + \frac{2}{15}z^5 + \frac{17}{315}z^7 + \ldots,\quad |z|<\frac{\pi}{2}.

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