Obtenha os primeiros termos das séries de Taylor/Laurent das funções abaixo (em torno da origem):
\operatorname{cosec} z=\frac{1}{z}+\frac{1}{6} z+\frac{7}{360} z^{3}+\frac{31}{15120} z^{5}+\ldots, 0<|z|<\pi

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de \csc z em torno de z=0. Para isso, vamos usar a expansão de Taylor de \sin z e depois inverter essa série, pois \csc z=1/\sin z.

Passo 2

A expansão em série de Taylor de \sin z em torno de z=0 é
\sin z = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \frac{z^7}{5040} + \cdots

Passo 3

Procuramos uma série da forma
\csc z = \sum_{n=-1}^{\infty} a_n z^n
e impomos
\Bigl(\sum_{n=-1}^{\infty} a_n z^n\Bigr)\Bigl(\sum_{k=1}^{\infty} b_k z^k\Bigr)=1
onde os coeficientes de \sin z são b_1=1, b_3=-\tfrac16, b_5=\tfrac1{120}, b_7=-\tfrac1{5040}, etc. Igualando coeficientes de cada potência de z, obtemos equações para os a_n.

Passo 4

Resolvendo sistematicamente até o termo z^5:
  • Para z^{-1}:
    a_{-1}b_1=1 \Rightarrow a_{-1}=1.
  • Para z^1:
    a_{-1}b_3 + a_1b_1=0 \Rightarrow -\tfrac16 + a_1=0 \Rightarrow a_1=\tfrac16.
  • Para z^3:
    a_{-1}b_5 + a_1b_3 + a_3b_1=0 \Rightarrow \tfrac1{120} - \tfrac1{36} + a_3=0 \Rightarrow a_3=\tfrac{7}{360}.
  • Para z^5:
    a_{-1}b_7 + a_1b_5 + a_3b_3 + a_5b_1=0 \Rightarrow -\tfrac1{5040}+\tfrac1{720}-\tfrac7{2160}+a_5=0 \Rightarrow a_5=\tfrac{31}{15120}.

Resposta

\csc z = \frac{1}{z} + \frac{1}{6}z + \frac{7}{360}z^{3} + \frac{31}{15120}z^{5} + \cdots,\quad 0<|z|<\pi.

Exercícios relacionados