Obtenha os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de Laurent
h(z)=e^zz(z^2+1)
no domínio 0<|z|<1.

Passo 1

Temos a função h(z)=dfrace^zz(z^2+1) e queremos a expansão de Laurent em torno de z=0, válida para 0<|z|<1. Vamos usar a expansão de e^z e a expansão de 1/(1+z^2) no disco |z|<1.

Passo 2

Primeiro, expandimos e^z em série de potências:
e^z=sumn=0^inftyz^nn!

Passo 3

Em seguida, escrevemos
1z(z^2+1)=1zcdot11+z^2
E para |z|<1
11+z^2=sumk=0^infty(-1)^kz^2k,
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1z(z^2+1)=sumk=0^infty(-1)^kz^2k-1

Passo 4

Agora multiplicamos as duas séries:
h(z)=l(sumn=0^inftyz^nn!r)l(sumk=0^infty(-1)^kz^2k-1r) =sumn=0^inftysumk=0^infty(-1)^kz^n+2k-1n!
Para obter os primeiros termos não nulos, definimos o expoente m=n+2k-1 e somamos as contribuições para cada m=-1,0,1,2.

Passo 5

Coeficientes calculados:
• Para m=-1: só (n,k)=(0,0) dá 1, termo z^-1.
• Para m=0: só (n,k)=(1,0) dá 1, termo z^0.
• Para m=1: contribuem (n,k)=(0,1) com -1/0!= -1 e (n,k)=(2,0) com 1/2!=1/2, total -1/2, termo z^1.
• Para m=2: contribuem (n,k)=(1,1) com -1/1!= -1 e (n,k)=(3,0) com 1/3!=1/6, total -5/6, termo z^2.

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos são
h(z)=1z+1-tfrac12,z-tfrac56,z^2+cdots

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