Obtenha o quociente e o resto das divisões de:
por
.
Passo 1
O enunciado pede que se obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio
pelo polinômio
.
Informações dadas:
- Dividendo:
. - Divisor:
. - O que se quer: o quociente
e o resto tais que a identidade da divisão polinomial seja satisfeita.
Observação imediata sobre graus (pegando os graus dos polinômios dados):
-
. -
.
Passo 2
Lembrete (fórmula que vamos usar): para quaisquer polinômios não nulos
(dividendo) e
(divisor) existe uma única decomposição
onde
é o quociente e
é o resto, com
ou
Explicando em palavras simples: o resto sempre tem grau menor que o divisor (ou é zero). Essa é a regra básica da divisão de polinômios, igual ao que acontece com inteiros.
Passo 3
Caso especial importante (muito útil em prova): se
então não é possível que exista um quociente não nulo, porque qualquer termo em
teria grau maior ou igual a
, e isso ultrapassaria o grau de
. Logo, a única possibilidade é
e
.
Demonstrando rapidamente: suponha por absurdo que
. Então
. Como
, teríamos
. Mas da identidade
seguiria
, contradição. Portanto
e então
.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto: temos
e
, portanto
do dividendo é menor que
do divisor. Pelo argumento do passo anterior, o quociente é
e o resto é exatamente o dividendo:
Verificação rápida: calcular
, que é o dividendo — a identidade da divisão está satisfeita e
, como requerido.
Passo 5
Resumo e comentário final (estímulo): então essa divisão é daquelas “fáceis” de notar na hora da prova — se o dividendo tem grau menor que o divisor, já pode escrever o quociente zero e seguir adiante. Pode respirar: pelo menos essa etapa não dá trabalho!
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: