Obtenha o quociente e o resto das divisões de:
x^{2}+2 x por x^{5}-x^{3}+2.

Passo 1

O enunciado pede que se obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio x^{2}+2x pelo polinômio x^{5}-x^{3}+2.
Informações dadas:
  • Dividendo: x^{2}+2x.
  • Divisor: x^{5}-x^{3}+2.
  • O que se quer: o quociente q(x) e o resto r(x) tais que a identidade da divisão polinomial seja satisfeita.
Observação imediata sobre graus (pegando os graus dos polinômios dados):
  • \deg\bigl(x^{2}+2x\bigr)=2.
  • \deg\bigl(x^{5}-x^{3}+2\bigr)=5.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar): para quaisquer polinômios não nulos f(x) (dividendo) e g(x) (divisor) existe uma única decomposição
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x),
onde q(x) é o quociente e r(x) é o resto, com \;r(x)=0\; ou \;\deg r(x)<\deg g(x)\;.
Explicando em palavras simples: o resto sempre tem grau menor que o divisor (ou é zero). Essa é a regra básica da divisão de polinômios, igual ao que acontece com inteiros.

Passo 3

Caso especial importante (muito útil em prova): se \deg f<\deg g então não é possível que exista um quociente não nulo, porque qualquer termo em g(x)q(x) teria grau maior ou igual a \deg g, e isso ultrapassaria o grau de f. Logo, a única possibilidade é q(x)=0 e r(x)=f(x).
Demonstrando rapidamente: suponha por absurdo que q(x)\neq0. Então \deg(gq)=\deg g+\deg q\ge \deg g. Como \deg g>\deg f, teríamos \deg(gq)>\deg f. Mas da identidade f=gq+r seguiria \deg f=\max(\deg(gq),\deg r)\ge \deg(gq)>\deg f, contradição. Portanto q=0 e então r=f.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto: temos \deg\bigl(x^{2}+2x\bigr)=2 e \deg\bigl(x^{5}-x^{3}+2\bigr)=5, portanto \deg do dividendo é menor que \deg do divisor. Pelo argumento do passo anterior, o quociente é
q(x)=0
e o resto é exatamente o dividendo:
r(x)=x^{2}+2x.
Verificação rápida: calcular (x^{5}-x^{3}+2)\cdot 0 + (x^{2}+2x) = x^{2}+2x, que é o dividendo — a identidade da divisão está satisfeita e \deg r=2<5, como requerido.

Passo 5

Resumo e comentário final (estímulo): então essa divisão é daquelas “fáceis” de notar na hora da prova — se o dividendo tem grau menor que o divisor, já pode escrever o quociente zero e seguir adiante. Pode respirar: pelo menos essa etapa não dá trabalho!

Resposta

Quociente: 0
Resto: x^{2}+2x

Exercícios relacionados