Obtenha o quociente e o resto das divisões de:
2 x^{4}-x^{3}+2 x^{2}-4 x+3 por 2 x-5.

Passo 1

O que o enunciado pede: obter o quociente e o resto da divisão do polinômio 2x^{4}-x^{3}+2x^{2}-4x+3 pelo polinômio divisor 2x-5.
Informações dadas e observações úteis:
  • O dividendo é 2x^{4}-x^{3}+2x^{2}-4x+3.
  • O divisor é 2x-5.
  • Como o dividendo tem grau 4 e o divisor tem grau 1, o quociente terá grau 3 e o resto será uma constante (grau <1).

Passo 2

Método escolhido: divisão de polinômios (divisão longa). A ideia é cancelar o termo de maior grau do dividendo usando um termo do quociente escolhido dividindo os termos principais.
Primeiro termo do quociente:
  • Dividir o termo principal do dividendo 2x^{4} pelo termo principal do divisor 2x: \frac{2x^{4}}{2x}=x^{3}.
  • Multiplicar x^{3} pelo divisor: x^{3}\cdot(2x-5)=2x^{4}-5x^{3}.
  • Subtrair esse produto do dividendo: \bigl(2x^{4}-x^{3}+2x^{2}-4x+3\bigr)-\bigl(2x^{4}-5x^{3}\bigr)=4x^{3}+2x^{2}-4x+3.

Passo 3

Segundo termo do quociente:
  • Dividir 4x^{3} pelo termo principal do divisor 2x: \frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}.
  • Multiplicar 2x^{2} pelo divisor: 2x^{2}\cdot(2x-5)=4x^{3}-10x^{2}.
  • Subtrair: \bigl(4x^{3}+2x^{2}-4x+3\bigr)-\bigl(4x^{3}-10x^{2}\bigr)=12x^{2}-4x+3.

Passo 4

Terceiro termo do quociente:
  • Dividir 12x^{2} por 2x: \frac{12x^{2}}{2x}=6x.
  • Multiplicar 6x pelo divisor: 6x\cdot(2x-5)=12x^{2}-30x.
  • Subtrair: \bigl(12x^{2}-4x+3\bigr)-\bigl(12x^{2}-30x\bigr)=26x+3.

Passo 5

Quarto termo do quociente (e último, pois agora o resto tem grau 1):
  • Dividir 26x por 2x: \frac{26x}{2x}=13.
  • Multiplicar 13 pelo divisor: 13\cdot(2x-5)=26x-65.
  • Subtrair: \bigl(26x+3\bigr)-\bigl(26x-65\bigr)=68.
Agora o resto é a constante 68 (não dá pra dividir mais porque o grau do resto é menor que o grau do divisor).

Passo 6

Resumo obtido pela divisão longa:
  • Quociente: x^{3}+2x^{2}+6x+13.
  • Resto: 68.
Passo extra (checagem rápida usando o teorema do resto): como 2x-5=0 tem raiz x=\tfrac{5}{2}, o valor do polinômio no ponto x=\tfrac{5}{2} deve ser o resto:
f\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=2\left(\tfrac{5}{2}\right)^{4}-\left(\tfrac{5}{2}\right)^{3}+2\left(\tfrac{5}{2}\right)^{2}-4\left(\tfrac{5}{2}\right)+3
=2\cdot\frac{625}{16}-\frac{125}{8}+2\cdot\frac{25}{4}-10+3
=\frac{625}{8}-\frac{125}{8}+\frac{50}{4}-7 =\frac{500}{8}+\frac{25}{2}-7 =\frac{125}{2}+\frac{25}{2}-7 =75-7=68,
confirmando o resto 68.

Resposta

Quociente: x^{3}+2x^{2}+6x+13
Resto: 68

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