Defina polinômio. Defina também grau de um polinōmio.

Passo 1

Você pediu duas coisas claras:
  • Definir o que é um polinômio.
  • Definir o que é o grau de um polinômio.
Nada mais foi dado no enunciado, então vou explicar as definições, dar exemplos e ensinar passo a passo como identificar o grau em provas (incluindo casos-pedra—como o polinômio zero).

Passo 2

O que é um polinômio (intuição e forma geral).
  • Intuição simples: um polinômio é uma soma finita de termos que são números multiplicando potências da incógnita. Cada termo tem a forma “coeficiente × potência”.
  • Forma padrão em uma variável x:
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,
onde:
  • cada a_k é um número (chamado coeficiente), normalmente real ou complexo;
  • cada expoente k é um inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • o somatório é finito (ou seja, há um maior expoente n a partir do qual não aparecem mais termos).
  • Observação prática: termos com coeficiente 0 não aparecem efetivamente; por exemplo, 2x^3+0\cdot x^2+5 é o mesmo que 2x^3+5.

Passo 3

Exemplos e não-exemplos para fixar a ideia.
  • Exemplos de polinômios:
    • \;3x^4-2x+7\; (coeficientes 3,-2,7, potência máxima 4).
    • \;5\; (constante; pode ver como 5x^0).
    • \;x^2+x+\tfrac{1}{2}\;.
  • Não-exemplos (não são polinômios porque têm expoentes negativos ou infinitos ou funções não polinomiais):
    • \;x^{-1}+2\; (expoente negativo).
    • \;e^x\; (série infinita, não uma soma finita de potências).
    • \;\sin x\; (não é soma finita de potências de x).

Passo 4

Termos importantes e como escrever em forma padrão.
  • Forma padrão = ordenar os termos por potências decrescentes: colocar primeiro o termo com maior potência não nula.
  • Termo líder (ou termo principal): o termo a_n x^n com o maior n tal que a_n \neq 0.
  • Coeficiente líder (ou coeficiente dominante): o número a_n.
  • Na prova: sempre escreva o polinômio em forma padrão antes de decidir o grau — isso evita confusão com termos omitidos.

Passo 5

Definição do grau (explicação detalhada).
  • Definição prática: o grau de um polinômio é o maior expoente n de x que aparece com coeficiente diferente de zero.
  • Em símbolos, se o polinômio em forma padrão for
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0
com a_n\neq 0, então o grau é n.
  • Exemplos:
    • Para \;4x^5 - x^3 + 2\;, o grau é 5.
    • Para \;7x^2\;, o grau é 2.
    • Para \;6\; (constante não nula), o grau é 0.

Passo 6

O caso especial do polinômio zero.
  • O polinômio zero é o polinômio cujos coeficientes são todos zero; escrevemos \;0.
  • Problema: não existe um maior expoente com coeficiente não nulo porque nenhum coeficiente é não nulo.
  • Convenções usadas:
    • Muitas vezes diz-se que o grau do polinômio zero é indefinido.
    • Em teoria algébrica é comum atribuir -\infty como grau do polinômio zero para manter fórmulas do tipo \deg(fg)=\deg f + \deg g válidas sem exceções.
  • Em provas de cálculo básico/álgebra, responda que o grau do polinômio zero é “não definido” (ou anote explicitamente a convenção -\infty se o enunciado pedir manipular graus algebraicamente).

Passo 7

Propriedades rápidas úteis em provas (e como usá-las sem calculadora).
  • Soma: \deg(f+g)\le \max\{\deg f,\deg g\}. Pode haver cancelamento do termo líder se os coeficientes líderes se anularem.
  • Produto: se f e g não são o polinômio zero, então \deg(fg)=\deg f+\deg g.
  • Derivada: se f tem grau n\ge 1, então f' tem grau n-1.
  • Dica prática: para achar o grau rapidamente, riscar termos com coeficiente zero e olhar o maior expoente restante.

Passo 8

Exemplos resolvidos passo a passo (prática para a prova).
  • Exemplo 1: achar o grau de \;2x^3+0x^2-5x+1.
    1. Eliminar termo com coeficiente zero: fica \;2x^3-5x+1.
    2. O maior expoente presente é 3.
    3. Logo o grau é \;3.
  • Exemplo 2: achar o grau de \;0x^4+0x^3+0 (isto é, o polinômio zero).
    1. Todos os coeficientes são zero.
    2. Assim o grau é indefinido (ou usar a convenção -\infty se for exigido).

Passo 9

Resumo prático para a prova (passos rápidos na hora)
  1. Escrever o polinômio em forma padrão (descendente).
  2. Eliminar termos com coeficiente 0.
  3. O expoente do primeiro termo (o maior) é o grau; se não houver termo não nulo, o polinômio é zero e o grau é “indefinido” (ou -\infty por convenção).
  4. Se for somar polinômios, verifique se os coeficientes líderes se cancelam (pode reduzir o grau).

Passo 10

Força e confiança: é normal se enrolar com termo zero e com o polinômio zero — faz parte. Seguindo os passos acima você acerta rapidamente na prova. Vamos à resposta curta e direta que você pode copiar no caderno.

Resposta

Um polinômio em uma variável x é uma expressão da forma \;a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\;, onde cada coeficiente a_k é um número, cada expoente k é um inteiro não negativo e a soma é finita (com a_n\neq 0 no termo de maior expoente quando escrito em forma padrão).
O grau de um polinômio (não nulo) é o maior expoente n tal que o coeficiente a_n é diferente de zero. Para o polinômio zero, o grau é usualmente considerado indefinido (ou, por convenção em contextos algébricos, igual a -\infty).

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