Defina polinômio. Defina também grau de um polinōmio.
Passo 1
Você pediu duas coisas claras:
- Definir o que é um polinômio.
- Definir o que é o grau de um polinômio.
Nada mais foi dado no enunciado, então vou explicar as definições, dar exemplos e ensinar passo a passo como identificar o grau em provas (incluindo casos-pedra—como o polinômio zero).
Passo 2
O que é um polinômio (intuição e forma geral).
- Intuição simples: um polinômio é uma soma finita de termos que são números multiplicando potências da incógnita. Cada termo tem a forma “coeficiente × potência”.
- Forma padrão em uma variável
:
onde:
- cada
é um número (chamado coeficiente), normalmente real ou complexo; - cada expoente
é um inteiro não negativo ( ); - o somatório é finito (ou seja, há um maior expoente
a partir do qual não aparecem mais termos). - Observação prática: termos com coeficiente
não aparecem efetivamente; por exemplo, é o mesmo que .
Passo 3
Exemplos e não-exemplos para fixar a ideia.
- Exemplos de polinômios:
-
(coeficientes , potência máxima ). -
(constante; pode ver como ). -
.
-
- Não-exemplos (não são polinômios porque têm expoentes negativos ou infinitos ou funções não polinomiais):
-
(expoente negativo). -
(série infinita, não uma soma finita de potências). -
(não é soma finita de potências de ).
-
Passo 4
Termos importantes e como escrever em forma padrão.
- Forma padrão = ordenar os termos por potências decrescentes: colocar primeiro o termo com maior potência não nula.
- Termo líder (ou termo principal): o termo
com o maior tal que . - Coeficiente líder (ou coeficiente dominante): o número
. - Na prova: sempre escreva o polinômio em forma padrão antes de decidir o grau — isso evita confusão com termos omitidos.
Passo 5
Definição do grau (explicação detalhada).
- Definição prática: o grau de um polinômio é o maior expoente
de que aparece com coeficiente diferente de zero. - Em símbolos, se o polinômio em forma padrão for
com
, então o grau é
.
- Exemplos:
- Para
, o grau é . - Para
, o grau é . - Para
(constante não nula), o grau é .
- Para
Passo 6
O caso especial do polinômio zero.
- O polinômio zero é o polinômio cujos coeficientes são todos zero; escrevemos
. - Problema: não existe um maior expoente com coeficiente não nulo porque nenhum coeficiente é não nulo.
- Convenções usadas:
- Muitas vezes diz-se que o grau do polinômio zero é indefinido.
- Em teoria algébrica é comum atribuir
como grau do polinômio zero para manter fórmulas do tipo válidas sem exceções.
- Em provas de cálculo básico/álgebra, responda que o grau do polinômio zero é “não definido” (ou anote explicitamente a convenção
se o enunciado pedir manipular graus algebraicamente).
Passo 7
Propriedades rápidas úteis em provas (e como usá-las sem calculadora).
- Soma:
. Pode haver cancelamento do termo líder se os coeficientes líderes se anularem. - Produto: se
e não são o polinômio zero, então . - Derivada: se
tem grau , então tem grau . - Dica prática: para achar o grau rapidamente, riscar termos com coeficiente zero e olhar o maior expoente restante.
Passo 8
Exemplos resolvidos passo a passo (prática para a prova).
- Exemplo 1: achar o grau de
. - Eliminar termo com coeficiente zero: fica
. - O maior expoente presente é
. - Logo o grau é
.
- Eliminar termo com coeficiente zero: fica
- Exemplo 2: achar o grau de
(isto é, o polinômio zero). - Todos os coeficientes são zero.
- Assim o grau é indefinido (ou usar a convenção
se for exigido).
Passo 9
Resumo prático para a prova (passos rápidos na hora)
- Escrever o polinômio em forma padrão (descendente).
- Eliminar termos com coeficiente
. - O expoente do primeiro termo (o maior) é o grau; se não houver termo não nulo, o polinômio é zero e o grau é “indefinido” (ou
por convenção). - Se for somar polinômios, verifique se os coeficientes líderes se cancelam (pode reduzir o grau).
Passo 10
Força e confiança: é normal se enrolar com termo zero e com o polinômio zero — faz parte. Seguindo os passos acima você acerta rapidamente na prova. Vamos à resposta curta e direta que você pode copiar no caderno.
Resposta
Um polinômio em uma variável
é uma expressão da forma
, onde cada coeficiente
é um número, cada expoente
é um inteiro não negativo e a soma é finita (com
no termo de maior expoente quando escrito em forma padrão).
O grau de um polinômio (não nulo) é o maior expoente
tal que o coeficiente
é diferente de zero. Para o polinômio zero, o grau é usualmente considerado indefinido (ou, por convenção em contextos algébricos, igual a
).