Obtenha a raiz aproximada da equaçāo f(x)=x^{3}-5 x+3, utilizando o método da posição falsa, tendo como condições iniciais o intervalo 0.5,1 e \delta=0,02 e \varepsilon=0,05. Lembre dos critérios de parada: \left|b_{k}-a_{k}\right| \leq \delta ou \left|f\left(x_{k}\right)\right| \leq \varepsilon. Neste item poderá ser utilizado arredondamento ou truncamento, com número de casas decimais a seu critério (lembre-se de anotar o critério).

Passo 1

O enunciado pede: obter uma raiz aproximada da equação \,f(x)=x^{3}-5x+3, usando o método da posição falsa (regula falsi), com condição inicial no intervalo \,[0{,}5,\,1], tolerâncias \delta=0{,}02 e \varepsilon=0{,}05, e critérios de parada:
  • \left|b_{k}-a_{k}\right| \le \delta ou
  • \left|f(x_{k})\right| \le \varepsilon.
Informações dadas:
  • função: \,f(x)=x^{3}-5x+3;
  • intervalo inicial: \,a_{0}=0{,}5 e \,b_{0}=1;
  • tolerâncias: \,\delta=0{,}02 e \,\varepsilon=0{,}05.

Passo 2

O que é o método da posição falsa e a fórmula usada.
  • Ideia: entre dois pontos \,a_k e \,b_k com \,f(a_k) e \,f(b_k) de sinais opostos existe uma raiz. Em vez de usar o ponto médio (como na bissecção), a posição falsa usa a reta secante que liga (a_k,f(a_k)) a (b_k,f(b_k)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação \,x_k. Isso costuma convergir mais rápido quando a função é aproximadamente linear no intervalo.
  • Fórmula da posição falsa:
x_k=\frac{a_k\,f(b_k)-b_k\,f(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)}.
Explicando cada termo:
  • \,a_k e \,b_k são os extremos do intervalo atual onde f tem sinais opostos;
  • \,f(a_k) e \,f(b_k) são os valores da função nesses extremos;
  • \,x_k é o ponto de interseção da reta secante com o eixo x.
  • Atualização do intervalo:
    • Se \,f(a_k)\cdot f(x_k)<0 então a raiz está no subintervalo [a_k,x_k] e toma-se b_{k+1}=x_k.
    • Se \,f(x_k)\cdot f(b_k)<0 então a raiz está em [x_k,b_k] e toma-se a_{k+1}=x_k.
    • Se \,f(x_k)=0 encontramos a raiz exata.
  • Critérios de parada (repetidos): parar se \left|b_{k}-a_{k}\right|\le \delta ou \left|f(x_k)\right|\le \varepsilon.

Passo 3

Critério numérico adotado para as contas intermediárias (importante para a prova):
  • Vou arredondar os valores intermediários a 4 casas decimais (arredondamento) para deixar os cálculos legíveis e reproduzíveis manualmente. Sempre que for útil, mostrarei a expressão exata em frações antes de aproximar.
Pronto: usamos arredondamento a 4 casas decimais nos valores apresentados, mas quando possível mantive frações exatas para justificativa.

Passo 4

Avaliar a função nos extremos iniciais e verificar sinal.
  • Calcular \,f(0{,}5):
f(0{,}5)=(0{,}5)^{3}-5(0{,}5)+3=0{,}125-2{,}5+3=0{,}625=\frac{5}{8}.
Portanto \,f(0{,}5)=0{,}625>0.
  • Calcular \,f(1):
f(1)=1^{3}-5\cdot1+3=1-5+3=-1.
Portanto \,f(1)=-1<0.
Como f(0{,}5) e f(1) têm sinais opostos, há pelo menos uma raiz em [0{,}5,\,1] e podemos aplicar o método.

Passo 5

Primeira iteração: calcular \,x_{1} pela posição falsa.
Usando a fórmula,
x_{1}=\frac{a_{0}f(b_{0})-b_{0}f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})} =\frac{0{,}5\cdot(-1)-1\cdot(0{,}625)}{-1-0{,}625}.
Em frações:
x_{1}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot(-1)-1\cdot\tfrac{5}{8}}{-1-\tfrac{5}{8}} =\frac{-\tfrac{1}{2}-\tfrac{5}{8}}{-\tfrac{13}{8}} =\frac{-\tfrac{9}{8}}{-\tfrac{13}{8}}=\frac{9}{13}.
Logo \,x_{1}=\dfrac{9}{13}\approx 0{,}6923076923. Arredondando a 4 casas: \,x_{1}\approx 0{,}6923.
Agora calcular f(x_{1}). Em frações:
f\!\left(\frac{9}{13}\right)=\left(\frac{9}{13}\right)^{3}-5\cdot\frac{9}{13}+3 =\frac{729}{2197}-\frac{45}{13}+3.
Colocando tudo sobre 2197 (pois 13^{3}=2197):
f\!\left(\frac{9}{13}\right)=\frac{729-7605+6591}{2197}=\frac{-285}{2197}\approx -0{,}1297.
Portanto \,f(x_{1})\approx -0{,}1297. Observações:
  • \left|f(x_{1})\right|\approx 0{,}1297>\varepsilon(=0{,}05), então não paramos pelo critério de \varepsilon.
  • Atualização do intervalo: como f(0{,}5)>0 e f(x_{1})<0, a raiz está em [0{,}5,\,x_{1}]. Tomamos a_{1}=0{,}5 e b_{1}=x_{1}=\dfrac{9}{13}.
Verificação do comprimento do intervalo:
b_{1}-a_{1}=\frac{9}{13}-\frac{1}{2}=\frac{18-13}{26}=\frac{5}{26}\approx 0{,}1923>\delta(=0{,}02),
ou seja, também não paramos por \delta.

Passo 6

Segunda iteração: calcular \,x_{2} usando a_{1}=0{,}5, b_{1}=9/13.
Aplicando a fórmula (mostro a conta em frações para precisão):
x_{2}=\frac{a_{1}f(b_{1})-b_{1}f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})}.
Substituindo os valores conhecidos:
a_{1}=\frac{1}{2},\quad b_{1}=\frac{9}{13},\quad f(a_{1})=\frac{5}{8},\quad f(b_{1})=-\frac{285}{2197}.
Calculei as operações com cuidado (procedimento algébrico mostrou):
x_{2}=\frac{8745}{13265}=\frac{1749}{2653}\quad(\text{fração simplificada}).çã
Como decimal,
x_{2}=\frac{1749}{2653}\approx 0{,}659268\ldots
Arredondando a 4 casas decimais: \,x_{2}\approx 0{,}6593.
Agora avaliar f(x_{2}). Faço a avaliação numérica com 6 casas para ter precisão suficiente:
  • Primeiro x_{2}\approx 0{,}659268.
  • Calcular (x_{2})^{3}: (0{,}659268)^{2}\approx 0{,}434628, e multiplicando novamente por 0{,}659268 (x_{2})^{3}\approx 0{,}285680 (valores arredondados durante o processo).
  • Calcular 5x_{2}\approx 5\cdot0{,}659268=3{,}296340.
  • Finalmente
f(x_{2})\approx 0{,}285680-3{,}296340+3=-0{,}010660\\ (\text{aprox.}).
Observações:
  • \left|f(x_{2})\right|\approx 0{,}01066 < \varepsilon(=0{,}05). Portanto o critério baseado em \varepsilon é satisfeito e podemos parar aqui.
  • O comprimento do intervalo atual seria b_{2}-a_{2}=x_{2}-0{,}5\approx 0{,}1593>\delta, então o critério em \delta NÃO está satisfeito, mas não é necessário porque o critério em \varepsilon já foi atingido.

Passo 7

Interpretação e resultado final:
  • A segunda iteração forneceu \,x_{2}\approx 0{,}6593 (arredondado a 4 casas), com \left|f(x_{2})\right|\approx 0{,}01066\le 0{,}05. Assim, pela condição \left|f(x_k)\right|\le\varepsilon a aproximação é aceitável e paramos.
  • Lembre: usei arredondamento a 4 casas decimais nos resultados intermediários apresentados; as frações exatas foram mostradas quando conveniente.

Resposta

\,x\approx 0{,}6593

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