Obtenha a raiz aproximada da equaçāo
, utilizando o método da posição falsa, tendo como condições iniciais o intervalo
e
e
. Lembre dos critérios de parada:
ou
. Neste item poderá ser utilizado arredondamento ou truncamento, com número de casas decimais a seu critério (lembre-se de anotar o critério).
Passo 1
O enunciado pede: obter uma raiz aproximada da equação
, usando o método da posição falsa (regula falsi), com condição inicial no intervalo
, tolerâncias
e
, e critérios de parada:
-
ou -
.
Informações dadas:
- função:
; - intervalo inicial:
e ; - tolerâncias:
e .
Passo 2
O que é o método da posição falsa e a fórmula usada.
-
Ideia: entre dois pontos
e com e de sinais opostos existe uma raiz. Em vez de usar o ponto médio (como na bissecção), a posição falsa usa a reta secante que liga a e toma a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação . Isso costuma convergir mais rápido quando a função é aproximadamente linear no intervalo. -
Fórmula da posição falsa:
Explicando cada termo:
-
e são os extremos do intervalo atual onde tem sinais opostos; -
e são os valores da função nesses extremos; -
é o ponto de interseção da reta secante com o eixo . -
Atualização do intervalo:
- Se
então a raiz está no subintervalo e toma-se . - Se
então a raiz está em e toma-se . - Se
encontramos a raiz exata.
- Se
-
Critérios de parada (repetidos): parar se
ou .
Passo 3
Critério numérico adotado para as contas intermediárias (importante para a prova):
- Vou arredondar os valores intermediários a 4 casas decimais (arredondamento) para deixar os cálculos legíveis e reproduzíveis manualmente. Sempre que for útil, mostrarei a expressão exata em frações antes de aproximar.
Pronto: usamos arredondamento a 4 casas decimais nos valores apresentados, mas quando possível mantive frações exatas para justificativa.
Passo 4
Avaliar a função nos extremos iniciais e verificar sinal.
- Calcular
:
Portanto
.
- Calcular
:
Portanto
.
Como
e
têm sinais opostos, há pelo menos uma raiz em
e podemos aplicar o método.
Passo 5
Primeira iteração: calcular
pela posição falsa.
Usando a fórmula,
Em frações:
Logo
. Arredondando a 4 casas:
.
Agora calcular
. Em frações:
Colocando tudo sobre
(pois
):
Portanto
. Observações:
-
, então não paramos pelo critério de . - Atualização do intervalo: como
e , a raiz está em . Tomamos e .
Verificação do comprimento do intervalo:
ou seja, também não paramos por
.
Passo 6
Segunda iteração: calcular
usando
,
.
Aplicando a fórmula (mostro a conta em frações para precisão):
Substituindo os valores conhecidos:
Calculei as operações com cuidado (procedimento algébrico mostrou):
Como decimal,
Arredondando a 4 casas decimais:
.
Agora avaliar
. Faço a avaliação numérica com 6 casas para ter precisão suficiente:
- Primeiro
. - Calcular
: , e multiplicando novamente por dá (valores arredondados durante o processo). - Calcular
. - Finalmente
Observações:
-
. Portanto o critério baseado em é satisfeito e podemos parar aqui. - O comprimento do intervalo atual seria
, então o critério em NÃO está satisfeito, mas não é necessário porque o critério em já foi atingido.
Passo 7
Interpretação e resultado final:
- A segunda iteração forneceu
(arredondado a 4 casas), com . Assim, pela condição a aproximação é aceitável e paramos. - Lembre: usei arredondamento a 4 casas decimais nos resultados intermediários apresentados; as frações exatas foram mostradas quando conveniente.