Considere a função
. Tomando
como aproximação inicial, aplique o método de Newton-Raphson para obter a aproximação da raiz da função, considerando cinco casas decimais com truncamento. Use como critério de parada:
e
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados foram dados.
- Função:
. - Intervalo onde a raiz é procurada:
. - Aproximação inicial:
. - Critérios de parada:
e , com e . - Regra de arredondamento exigida: apresentar as aproximações com cinco casas decimais por truncamento (ou seja, cortar dígitos além da quinta casa, sem arredondar).
Pergunta explícita: aplicar o método de Newton-Raphson a partir de
e obter a aproximação da raiz, mostrando o processo passo a passo; apresentar a resposta final com cinco casas decimais por truncamento.
Passo 2
Explicando o método e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Método de Newton-Raphson (passo a passo): a cada iteração calcula-se
Aqui
é a aproximação atual,
é o valor da função nessa aproximação,
é a derivada no ponto e
é a nova aproximação.
- Derivada da função (precisamos dela para o método):
Explicação do que cada termo representa:
-
vem da derivada de (regra potência). -
vem da derivada de : usar regra da cadeia: , multiplicando por dá .
Decisão prática sobre truncamento e critério de parada (importante):
- Vamos apresentar cada
truncado a cinco casas decimais (conforme pedido), mas, para verificar corretamente os critérios e , é melhor usar os valores calculados com precisão (não só o valor truncado) para evitar que o truncamento “mascare” a convergência. Ou seja: calcular com precisão, verificar os critérios com esses valores, e depois apresentar/truncar a aproximação para cinco casas. Isso é comum em exercícios que pedem truncamento de apresentação mas exigem critério numérico firme. Vou deixar explícito quando uso valores não truncados para teste de parada e quando apresento o número truncado.
Passo 3
Iteração 0 → 1 (primeira iteração)
- Ponto inicial:
.
Calcular
e
:
Aplicando Newton:
Agora truncamos
para cinco casas decimais (apresentação):
Observações: guardei o valor calculado com mais casas
para usar no teste de parada; o valor mostrado por exigência é
.
Passo 4
Iteração 1 → 2 (segunda iteração)
Usamos o valor (para computar) correspondente ao que foi apresentado na prática: vou usar o valor calculado mais preciso obtido na iteração anterior para as contas; depois apresento o truncamento.
Usamos o valor (para computar) correspondente ao que foi apresentado na prática: vou usar o valor calculado mais preciso obtido na iteração anterior para as contas; depois apresento o truncamento.
Calcular
(usando
):
Passo curto de entendimento: ao substituir na função, calcula-se
,
e
. Fazendo essas contas com precisão obtém-se (aproximações mostradas):
(positiva e pequena).
Calcular
:
Aplicando Newton:
Truncando a cinco casas decimais:
Diferença entre as aproximações (usando os valores calculados, não só os truncados):
logo o critério
ainda não é satisfeito. Também, o valor
(avaliado em
) fica aproximadamente
que já é
. Portanto, a condição em
já está satisfeita, mas falta a condição de diferença entre iterações. Continuamos.
Passo 5
Iteração 2 → 3 (terceira iteração)
Usando o valor calculado de
(mais preciso) para as contas, aplicando Newton:
- Avaliação aproximada de
(já mencionada): . - Avaliação aproximada de
: .
Correção Newton:
Logo
Truncando para cinco casas decimais (apresentação):
Agora os testes de parada (usando os valores calculados com precisão):
- Diferença entre iterações (valores não truncados):
- Valor da função no último ponto (avaliado, por exemplo, em
preciso):
Ambos os critérios são satisfeitos quando avaliados com precisão numérica (mesmo que a apresentação truncada leve pequenas diferenças aritméticas). Portanto podemos parar.
Breve justificativa da escolha de usar valores não truncados para os testes: se apenas fossemos comparar os números truncados que mostramos, a diferença truncada
é exatamente
(igual a
, não menor), e isso poderia evitar detectar que o método já convergiu em precisão real. Por isso é prática comum usar os valores calculados (não só o valor mostrado por truncamento) para verificar os critérios numéricos. Mas o valor final pedido pelo enunciado deve ser apresentado com cinco casas decimais por truncamento.
Resposta
-0{,}77703