Obtenha a regra de derivação das funções abaixo e calcule o valor da derivada em z=i
b) f(z)=-5 i z^{2}+\frac{2+i}{z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z) = -5\,i\,z^{2} \;+\;\frac{2+i}{z^{2}}
e, em seguida, o valor de f'(z) quando z=i. O conteúdo usado aqui é a regra da potência para derivadas de funções de z (mesma forma que em cálculo real, pois z é variável complexa) e o fato de constantes complexas saírem do operador derivada.

Passo 2

Derivando termo a termo:
  1. Para -5\,i\,z^{2}, aplicamos a regra da potência \frac{d}{dz}z^{n}=n\,z^{n-1}, ficando
\frac{d}{dz}\bigl(-5\,i\,z^{2}\bigr) = -5\,i\;\cdot 2\,z^{1} = -10\,i\,z.
  1. Para \displaystyle \frac{2+i}{z^{2}}=(2+i)\,z^{-2}, também pela potência,
\frac{d}{dz}\bigl((2+i)\,z^{-2}\bigr) = (2+i)\;\cdot(-2)\,z^{-3} = -2\,(2+i)\,z^{-3}.
Logo,
f'(z) = -10\,i\,z \;-\;2\,(2+i)\,z^{-3}.

Passo 3

Agora calculamos f'(i). Substituindo z=i em
f'(z) = -10\,i\,z \;-\;2\,(2+i)\,z^{-3},
temos
f'(i) = -10\,i\,(i) \;-\;2\,(2+i)\,i^{-3}.
Calculemos separadamente:
  • i^{2}=-1, então -10\,i\,(i)=-10\,i^{2}=10.
  • i^{-3} = \frac{1}{i^{3}} = \frac{1}{-\,i} = -\frac{1}{i} = -(-i) = i.
    Portanto
-2\,(2+i)\,i^{-3} = -2\,(2+i)\,i = -2\bigl(2i + i^{2}\bigr) = -2\bigl(2i -1\bigr) = -4i +2.
Somando as partes:
f'(i) = 10 \;+\;(2 -4i) = 12 -4i.

Resposta

A derivada é
f'(z) = -10\,i\,z \;-\;2\,(2+i)\,z^{-3},
e o valor em z=i é
f'(i) = 12 -4i.

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