Obtenha a regra de derivação das funções abaixo e calcule o valor da derivada em z=i
c) f(z)=\left(z^{6}-1\right)\left(z^{2}+z-1+5 i\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=\bigl(z^{6}-1\bigr)\bigl(z^{2}+z-1+5\,i\bigr)
aplicando regras de derivação de funções holomorfas (produto e derivada de potências), e em seguida calcular f'(i).

Passo 2

Seja
g(z)=z^{6}-1,\quad h(z)=z^{2}+z-1+5\,i.
Pela regra do produto em \mathbb{C},
f'(z)=g'(z)\,h(z)+g(z)\,h'(z).
Como g'(z)=6\,z^5 e h'(z)=2\,z+1, obtém-se
\boxed{f'(z)=6\,z^5\,(z^{2}+z-1+5\,i)+(z^{6}-1)\,(2\,z+1).}

Passo 3

Para z=i:
i^2=-1,\quad i^5=i^{4+1}=i,\quad i^6=i^4\cdot i^2=1\cdot(-1)=-1.
Logo
g(i)=i^6-1=-2,\quad g'(i)=6\,i^5=6\,i,
h(i)=i^2+i-1+5\,i=-1+i-1+5\,i=-2+6\,i,\quad h'(i)=2\,i+1=1+2\,i.
Assim
f'(i)=g'(i)\,h(i)+g(i)\,h'(i) =6\,i\,(-2+6\,i)+(-2)\,(1+2\,i).
Calculando cada termo:
6\,i\,(-2+6\,i)=-12\,i+36\,i^2=-12\,i-36,
(-2)\,(1+2\,i)=-2-4\,i.
Somando,
f'(i)=(-36-12\,i)+(-2-4\,i)=-38-16\,i.

Resposta

f'(z)=6\,z^5\,(z^{2}+z-1+5\,i)+(z^{6}-1)\,(2\,z+1), \quad f'(i)=-38-16\,i.

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