Obtenha a regra de derivação das funções abaixo e calcule o valor da derivada em z=i
d) f(z)=\left(\frac{(4+2 i) z}{(2-i) z^{2}+9 i}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\biggl(\frac{(4+2i)\,z}{(2 - i)\,z^2 + 9i}\biggr)^3
e pede a regra de derivação f'(z) e o valor de f' em z=i.
Conteúdo aplicado: regra da cadeia e regra do quociente para funções complexas.

Passo 2

Defina
g(z)=\frac{N(z)}{D(z)},\quad N(z)=(4+2i)\,z,\quad D(z)=(2 - i)\,z^2 + 9i.
Como f(z)=\bigl(g(z)\bigr)^3, pela regra da cadeia temos
f'(z)=3\,[g(z)]^2\;g'(z).

Passo 3

Para g'(z) usamos a regra do quociente:
g'(z) =\frac{N'(z)\,D(z)-N(z)\,D'(z)}{\bigl[D(z)\bigr]^2}.
Aqui
N'(z)=4+2i, \qquad D'(z)=2\,(2 - i)\,z.

Passo 4

Substituindo em f'(z) obtemos
f'(z) =3\,\biggl(\frac{(4+2i)\,z}{(2 - i)\,z^2 + 9i}\biggr)^{\!2} \;\cdot\; \frac{(4+2i)\bigl((2 - i)\,z^2+9i\bigr)\;-\;(4+2i)\,z\;\cdot2\,(2 - i)\,z} {\bigl((2 - i)\,z^2 + 9i\bigr)^2}.
Podemos simplificar o numerador de g'(z) como
(4+2i)\bigl((2 - i)z^2+9i\bigr) -2(2 - i)\,(4+2i)\,z^2,
mas para o cálculo em z=i vamos avaliar passo a passo.

Passo 5

Calculemos os valores em z=i:
  1. N(i)=(4+2i)\,i=-2+4i.
  2. D(i)=(2 - i)\,i^2+9i=-2+10i.
  3. N'(i)=4+2i.
  4. D'(i)=2(2 - i)\,i=2+4i.
  5. Logo
g(i)=\frac{-2+4i}{-2+10i} =\frac{44+12i}{104} =\frac{11+3i}{26},
g'(i) =\frac{(4+2i)(-2+10i)-(-2+4i)(2+4i)}{(-2+10i)^2} =\frac{-8+36i}{-96-40i} =\frac{-21-118i}{338}.

Passo 6

Finalmente
f'(i) =3\,[g(i)]^2\,g'(i) =3\, \biggl(\frac{11+3i}{26}\biggr)^{\!2} \;\cdot\; \frac{-21-118i}{338} =\frac{8154-21903i}{114244}.

Resposta

\boxed{ f'(z) =3\, \biggl(\frac{(4+2i)\,z}{(2 - i)\,z^2 + 9i}\biggr)^{2} \;\cdot\; \frac{(4+2i)\bigl((2 - i)\,z^2+9i\bigr) -2(2 - i)(4+2i)\,z^2} {\bigl((2 - i)\,z^2 + 9i\bigr)^2}, }
\boxed{f'(i)=\frac{8154-21903\,i}{114244}.}

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