Obtenha uma reparametrização da cicloide
\alpha(t)=(a(t-\operatorname{sen}(t)), a(1-\cos (t))), \quad 0<t<2 \pi
pelo comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado pede: "Obtenha uma reparametrização da cicloide
\alpha(t)=(a(t-\operatorname{sen}(t)), a(1-\cos (t))), \quad 0<t<2 \pi
pelo comprimento de arco."
Informações dadas (explicitadas):
  • A curva é \alpha(t)=(a(t-\sin t),\, a(1-\cos t)) para 0<t<2\pi.
  • A constante a>0 é dada.
  • Queremos uma reparametrização por comprimento de arco, ou seja, uma função \beta(s)=\alpha(t(s)) onde s é o comprimento de arco medido a partir de um ponto de referência (aqui escolhemos t=0 como referência) e s é o novo parâmetro. A reparametrização deve satisfazer \big\|\beta'(s)\big\|=1.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: o comprimento de arco a partir de t=0 até t é dado por
s(t)=\int_{0}^{t}\big\|\alpha'(u)\big\|\,du,
onde \alpha'(u) é a derivada de \alpha em relação a u e \|\cdot\| é a norma euclidiana (velocidade). Depois devemos inverter s(t) para obter t em função de s, t=t(s), e então definir \beta(s)=\alpha(t(s)).

Passo 3

Calcular \alpha'(t) e a velocidade:
\alpha'(t)=\Big(a(1-\cos t),\; a\sin t\Big).
Agora a norma:
\big\|\alpha'(t)\big\| = a\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}.
Simplificamos o radicando:
(1-\cos t)^2+\sin^2 t=1-2\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t=2-2\cos t.
Usando a identidade de meia-ângulo 1-\cos t=2\sin^2\!\tfrac{t}{2} ou 2-2\cos t=4\sin^2\!\tfrac{t}{2}, obtemos
\big\|\alpha'(t)\big\|=a\sqrt{4\sin^2\!\tfrac{t}{2}}=2a\sin\!\tfrac{t}{2},
pois para 0<t<2\pi temos \sin\!\tfrac{t}{2}>0.

Passo 4

Calcular o comprimento de arco s(t):
s(t)=\int_{0}^{t}2a\sin\!\tfrac{u}{2}\,du.
Fazemos a substituição v=\tfrac{u}{2}\Rightarrow du=2\,dv. Então
s(t)=2a\int_{0}^{t} \sin\!\tfrac{u}{2}\,du =4a\int_{0}^{t/2}\sin v\,dv =4a\big(-\cos v\big)\Big|_{0}^{t/2}=4a\big(1-\cos\tfrac{t}{2}\big).
Logo
s(t)=4a\Big(1-\cos\!\tfrac{t}{2}\Big).
Verificações rápidas: s(0)=0 e s(2\pi)=4a(1-\cos\pi)=4a(1-(-1))=8a, ou seja, o comprimento de um arco da cicloide é 8a.

Passo 5

Inverter s(t) para obter t em função de s. Da expressão
s=4a\Big(1-\cos\!\tfrac{t}{2}\Big)
segue
\cos\!\tfrac{t}{2}=1-\dfrac{s}{4a}.
Tomando arccoseno (como \tfrac{t}{2}\in(0,\pi) para t\in(0,2\pi), arccos é bem definido),
\tfrac{t}{2}=\operatorname{arccos}\!\Big(1-\dfrac{s}{4a}\Big), \qquad\text{portanto}\qquad t(s)=2\operatorname{arccos}\!\Big(1-\dfrac{s}{4a}\Big).
O domínio de s correspondente é 0<s<8a.

Passo 6

Construir a reparametrização \beta(s)=\alpha(t(s)). Pode-se simplesmente escrever
\beta(s)=\alpha\!\Big(2\operatorname{arccos}\!\big(1-\tfrac{s}{4a}\big)\Big), \qquad 0<s<8a,
ou apresentar as componentes explicitamente. É possível simplificar a componente y em forma algébrica: usando \theta=\tfrac{t}{2} temos y=a(1-\cos 2\theta)=2a\sin^2\theta. Como \cos\theta=1-\tfrac{s}{4a}, então
\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\Big(1-\tfrac{s}{4a}\Big)^2 =\dfrac{s}{2a}-\dfrac{s^2}{16a^2}.
Logo
y(s)=2a\sin^2\theta=2a\Big(\dfrac{s}{2a}-\dfrac{s^2}{16a^2}\Big) = s-\dfrac{s^2}{8a}.

Passo 7

Expressão explícita da componente x(s). Mantendo \theta=\operatorname{arccos}(1-\tfrac{s}{4a}) (ou seja \theta=\tfrac{t(s)}{2}), temos
x(s)=a\big(2\theta-\sin 2\theta\big)=2a\theta-2a\sin\theta\cos\theta.
Usando \cos\theta=1-\tfrac{s}{4a} e \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{\tfrac{s}{4a}\Big(2-\tfrac{s}{4a}\Big)}=\dfrac{1}{4a}\sqrt{s(8a-s)}, obtemos
x(s)=2a\operatorname{arccos}\!\Big(1-\dfrac{s}{4a}\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(1-\dfrac{s}{4a}\Big)\sqrt{s(8a-s)}.

Passo 8

Conclusão: a reparametrização por comprimento de arco (escolhendo s medido desde t=0) pode ser dada de forma compacta por t(s) e substituição, ou nas componentes explícitas. O parâmetro s varia em 0<s<8a.

Resposta

t(s)=2\operatorname{arccos}\!\Big(1-\dfrac{s}{4a}\Big),\quad 0<s<8a\n
\displaystyle \beta(s)=\alpha\big(t(s)\big)=\Bigg(2a\operatorname{arccos}\!\Big(1-\dfrac{s}{4a}\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(1-\dfrac{s}{4a}\Big)\sqrt{s(8a-s)},\; s-\dfrac{s^2}{8a}\Bigg),\quad 0<s<8a

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