pelo comprimento de arco."
Informações dadas (explicitadas):
A curva é \alpha(t)=(a(t-\sin t),\, a(1-\cos t)) para 0<t<2\pi.
A constante a>0 é dada.
Queremos uma reparametrização por comprimento de arco, ou seja, uma função \beta(s)=\alpha(t(s)) onde s é o comprimento de arco medido a partir de um ponto de referência (aqui escolhemos t=0 como referência) e s é o novo parâmetro. A reparametrização deve satisfazer \big\|\beta'(s)\big\|=1.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar: o comprimento de arco a partir de t=0 até t é dado por
s(t)=\int_{0}^{t}\big\|\alpha'(u)\big\|\,du,
onde \alpha'(u) é a derivada de \alpha em relação a u e \|\cdot\| é a norma euclidiana (velocidade). Depois devemos inverter s(t) para obter t em função de s, t=t(s), e então definir \beta(s)=\alpha(t(s)).
ou apresentar as componentes explicitamente. É possível simplificar a componente y em forma algébrica: usando \theta=\tfrac{t}{2} temos y=a(1-\cos 2\theta)=2a\sin^2\theta. Como \cos\theta=1-\tfrac{s}{4a}, então
Usando \cos\theta=1-\tfrac{s}{4a} e \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{\tfrac{s}{4a}\Big(2-\tfrac{s}{4a}\Big)}=\dfrac{1}{4a}\sqrt{s(8a-s)}, obtemos
Conclusão: a reparametrização por comprimento de arco (escolhendo s medido desde t=0) pode ser dada de forma compacta por t(s) e substituição, ou nas componentes explícitas. O parâmetro s varia em 0<s<8a.