Seja F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma aplicação diferenciável tal que para algum p_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} vale F\left(p_{0}\right)=0 e F_{x}^{2}\left(p_{0}\right)+F_{y}^{2}\left(p_{0}\right) \neq 0. Mostre que o conjunto de pontos p=(x, y) \in \mathbb{R}^{2} próximos de p_{0} tais que F(p)=0 é o traço de uma curva regular.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Informação 1: F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável.
  • Informação 2: Existe p_0=(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2 tal que F(p_0)=0.
  • Informação 3: F_x^2(p_0)+F_y^2(p_0)\neq 0. Em palavras: os parciais em p_0 não são simultaneamente nulos; pelo menos um entre F_x(p_0) e F_y(p_0) é diferente de zero.
O que se pede: mostrar que o conjunto dos pontos p=(x,y) próximos de p_0 tais que F(p)=0 é o traço de uma curva regular. Ou seja, provar que existe uma parametrização de classe \mathcal{C}^1 definida num intervalo I contendo alguma coordenada de p_0 cuja imagem é exatamente a porção do nível zero de F perto de p_0, e que essa parametrização tem derivada não nula em todos os pontos (regularidade).

Passo 2

Ideia geral (intuição sem ainda formalizar): como F é diferenciável e pelo menos uma derivada parcial em p_0 é não nula, localmente podemos resolver a equação F(x,y)=0 para uma variável em função da outra. Por exemplo, se F_y(p_0)\neq 0 então existe uma função y=\varphi(x) definida num intervalo em torno de x_0 tal que F(x,\varphi(x))=0 para x próximo de x_0. Analogamente, se F_x(p_0)\neq 0 podemos escrever x=\psi(y). Essa escrita como gráfico de uma função permite parametrizar o conjunto F=0 localmente e a regularidade vem do fato de que a derivada da parametrização tem componente não nula (por ex. componente 1 se paramos por x). A ferramenta formal que garante tudo isso é o Teorema da Função Implícita (ou, alternativamente, o Teorema da Função Inversa aplicado a uma mudança adequada), que vou enunciar e explicar em seguida.

Passo 3

Enunciado do instrumento que usamos (versão útil e intuitiva do Teorema da Função Implícita):
  • Suponha F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é de classe \mathcal{C}^1 (diferenciável com derivadas parciais contínuas) numa vizinhança de p_0=(x_0,y_0).
  • Se F_y(p_0)\neq 0 então existe um intervalo aberto I contendo x_0 e uma função \varphi:I\to\mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1 tal que \varphi(x_0)=y_0 e, para todo x\in I, F(x,\varphi(x))=0. Além disso, essa \varphi é única numa vizinhança e sua derivada é dada por
\varphi'(x) = -\frac{F_x(x,\varphi(x))}{F_y(x,\varphi(x))}.
  • Analogamente, se F_x(p_0)\neq 0 existe \psi com x=\psi(y) em torno de y_0, de classe \mathcal{C}^1.
Explicação breve do que isso significa: quando a derivada parcial em relação a uma variável não é zero naquele ponto, a função varia de forma suficientemente “transversal” ao nível zero, permitindo expressar localmente o nível zero como o gráfico de uma função da outra variável. A fórmula para a derivada vem de diferenciar a identidade F(x,\varphi(x))\equiv 0 em x e isolar \varphi'(x).
Observação prática: o enunciado garante que F_x^2(p_0)+F_y^2(p_0)\neq0, então pelo menos uma das hipóteses F_x(p_0)\neq0 ou F_y(p_0)\neq0 vale, e portanto alguma das conclusões acima pode ser aplicada.

Passo 4

Aplicação ao nosso problema — caso F_y(p_0)\neq 0.
  1. Pelo Teorema da Função Implícita existe um intervalo aberto I com x_0\in I e uma função \varphi:I\to\mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1 tal que \varphi(x_0)=y_0 e para todo x\in I vale
F\bigl(x,\varphi(x)\bigr)=0.
  1. Definimos a parametrização \gamma:I\to\mathbb{R}^2 por
\gamma(t) = \bigl(t,\varphi(t)\bigr).
Essa é uma curva de classe \mathcal{C}^1 porque \varphi é \mathcal{C}^1. A imagem de \gamma é exatamente a porção do conjunto \{(x,y):F(x,y)=0\} que está próxima de p_0: cada ponto da imagem satisfaz F(\gamma(t))=0 e, por unicidade local da função implícita, toda solução F(x,y)=0 com x próximo a x_0 está na forma y=\varphi(x), isto é, pertence à imagem de \gamma.

Passo 5

Verificação da regularidade no caso F_y(p_0)\neq 0.
A derivada de \gamma é
\gamma'(t) = \bigl(1,\varphi'(t)\bigr).
O primeiro componente é 1, logo \gamma'(t)\neq(0,0) para todo t\in I. Portanto \gamma é uma curva regular (derivada nunca nula). Assim o nível F=0 próximo de p_0 é o traço de uma curva regular parametrizada por t\mapsto(t,\varphi(t)).

Passo 6

Aplicação alternativa — caso F_x(p_0)\neq 0.
Se em vez disso F_x(p_0)\neq 0, aplica-se a versão simétrica do Teorema da Função Implícita: existe um intervalo J com y_0\in J e uma função \psi:J\to\mathbb{R}, classe \mathcal{C}^1, tal que \psi(y_0)=x_0 e para todo y\in J
F\bigl(\psi(y),y\bigr)=0.
Tomando a parametrização
\tilde\gamma(t) = \bigl(\psi(t),t\bigr),\qquad t\in J,
obtemos uma curva de classe \mathcal{C}^1 cuja derivada é
\tilde\gamma'(t) = \bigl(\psi'(t),1\bigr),
portanto \tilde\gamma'(t)\neq(0,0) para todo t (segundo componente igual a 1). Assim também neste caso o nível F=0 perto de p_0 é traço de uma curva regular.

Passo 7

Complementos didáticos e fórmula da derivada (como se usa na prova/oral da prova):
  • Como se obtém a fórmula \varphi'(x) = -F_x/F_y? Basta diferenciar a identidade F(x,\varphi(x))\equiv 0 em x. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}F\bigl(x,\varphi(x)\bigr) = F_x\bigl(x,\varphi(x)\bigr)\cdot 1 + F_y\bigl(x,\varphi(x)\bigr)\cdot \varphi'(x) = 0.
Isolando \varphi'(x) obtemos
\varphi'(x) = -\frac{F_x\bigl(x,\varphi(x)\bigr)}{F_y\bigl(x,\varphi(x)\bigr)}.
Essa conta é útil na prova porque mostra explicitamente que a função implícita é diferenciável e fornece sua derivada em termos das derivadas parciais de F.
  • Exemplo concreto para fixar a intuição: para F(x,y)=x^2+y^2-1 e p_0=(1,0) tem-se F_x(p_0)=2, F_y(p_0)=0. Como F_x(p_0)\neq0 o que a prova garante é que, perto de p_0, o conjunto F=0 pode ser escrito como x=\psi(y). De fato na circunferência em volta de (1,0) pode-se escrever x=\sqrt{1-y^2} (escolhendo o ramo apropriado); a parametrização \tilde\gamma(t)=(\sqrt{1-t^2},t) tem derivada não nula enquanto t for pequeno, mostrando a regularidade local.

Passo 8

Conclusão final: por hipótese em p_0 pelo menos uma das derivadas parciais não é zero; aplicando o Teorema da Função Implícita no caso adequado obtemos uma parametrização local de classe \mathcal{C}^1 do conjunto \{F=0\} cujo vetor derivada é nunca nulo. Assim o conjunto de pontos p próximos de p_0 com F(p)=0 é o traço de uma curva regular.

Resposta

O conjunto \{p=(x,y) próximo de p_0:\\ F(p)=0\} é localmente o gráfico de uma função \mathcal{C}^1 (ou da forma x=\psi(y) ou y=\varphi(x)) e, portanto, é o traço de uma curva regular.

Exercícios relacionados