Seja
uma aplicação diferenciável tal que para algum
vale
e
. Mostre que o conjunto de pontos
próximos de
tais que
é o traço de uma curva regular.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Informação 1:
é diferenciável. - Informação 2: Existe
tal que . - Informação 3:
. Em palavras: os parciais em não são simultaneamente nulos; pelo menos um entre e é diferente de zero.
O que se pede: mostrar que o conjunto dos pontos
próximos de
tais que
é o traço de uma curva regular. Ou seja, provar que existe uma parametrização de classe
definida num intervalo
contendo alguma coordenada de
cuja imagem é exatamente a porção do nível zero de
perto de
, e que essa parametrização tem derivada não nula em todos os pontos (regularidade).
Passo 2
Ideia geral (intuição sem ainda formalizar): como
é diferenciável e pelo menos uma derivada parcial em
é não nula, localmente podemos resolver a equação
para uma variável em função da outra. Por exemplo, se
então existe uma função
definida num intervalo em torno de
tal que
para
próximo de
. Analogamente, se
podemos escrever
. Essa escrita como gráfico de uma função permite parametrizar o conjunto
localmente e a regularidade vem do fato de que a derivada da parametrização tem componente não nula (por ex. componente
se paramos por
). A ferramenta formal que garante tudo isso é o Teorema da Função Implícita (ou, alternativamente, o Teorema da Função Inversa aplicado a uma mudança adequada), que vou enunciar e explicar em seguida.
Passo 3
Enunciado do instrumento que usamos (versão útil e intuitiva do Teorema da Função Implícita):
- Suponha
é de classe (diferenciável com derivadas parciais contínuas) numa vizinhança de . - Se
então existe um intervalo aberto contendo e uma função de classe tal que e, para todo , . Além disso, essa é única numa vizinhança e sua derivada é dada por
- Analogamente, se
existe com em torno de , de classe .
Explicação breve do que isso significa: quando a derivada parcial em relação a uma variável não é zero naquele ponto, a função varia de forma suficientemente “transversal” ao nível zero, permitindo expressar localmente o nível zero como o gráfico de uma função da outra variável. A fórmula para a derivada vem de diferenciar a identidade
em
e isolar
.
Observação prática: o enunciado garante que
, então pelo menos uma das hipóteses
ou
vale, e portanto alguma das conclusões acima pode ser aplicada.
Passo 4
Aplicação ao nosso problema — caso
.
- Pelo Teorema da Função Implícita existe um intervalo aberto
com e uma função de classe tal que e para todo vale
- Definimos a parametrização
por
Essa é uma curva de classe
porque
é
. A imagem de
é exatamente a porção do conjunto
que está próxima de
: cada ponto da imagem satisfaz
e, por unicidade local da função implícita, toda solução
com
próximo a
está na forma
, isto é, pertence à imagem de
.
Passo 5
Verificação da regularidade no caso
.
A derivada de
é
O primeiro componente é
, logo
para todo
. Portanto
é uma curva regular (derivada nunca nula). Assim o nível
próximo de
é o traço de uma curva regular parametrizada por
.
Passo 6
Aplicação alternativa — caso
.
Se em vez disso
, aplica-se a versão simétrica do Teorema da Função Implícita: existe um intervalo
com
e uma função
, classe
, tal que
e para todo
Tomando a parametrização
obtemos uma curva de classe
cuja derivada é
portanto
para todo
(segundo componente igual a
). Assim também neste caso o nível
perto de
é traço de uma curva regular.
Passo 7
Complementos didáticos e fórmula da derivada (como se usa na prova/oral da prova):
- Como se obtém a fórmula
? Basta diferenciar a identidade em . Usando a regra da cadeia:
Isolando
obtemos
Essa conta é útil na prova porque mostra explicitamente que a função implícita é diferenciável e fornece sua derivada em termos das derivadas parciais de
.
- Exemplo concreto para fixar a intuição: para
e tem-se , . Como o que a prova garante é que, perto de , o conjunto pode ser escrito como . De fato na circunferência em volta de pode-se escrever (escolhendo o ramo apropriado); a parametrização tem derivada não nula enquanto for pequeno, mostrando a regularidade local.
Passo 8
Conclusão final: por hipótese em
pelo menos uma das derivadas parciais não é zero; aplicando o Teorema da Função Implícita no caso adequado obtemos uma parametrização local de classe
do conjunto
cujo vetor derivada é nunca nulo. Assim o conjunto de pontos
próximos de
com
é o traço de uma curva regular.
Resposta
O conjunto
próximo de
é localmente o gráfico de uma função
(ou da forma
ou
) e, portanto, é o traço de uma curva regular.