Obtenha uma curva regular \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que \alpha(0)=(2,0) e \alpha^{\prime}(t)=\left(t^{2}, e^{t}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma curva regular \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 que satisfaça duas condições. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
  • Pedido: construir uma função \alpha(t) definida para todo t\in\mathbb{R} tal que \alpha seja regular (ou seja, \alpha'(t)\neq(0,0) para todo t) e que satisfaça as condições abaixo.
  • Informações dadas:
    • Valor inicial: \alpha(0)=(2,0).
    • Derivada: \alpha'(t)=\bigl(t^{2},e^{t}\bigr) para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida, sem pânico): se uma função vetorial \alpha(t)=(x(t),y(t)) tem derivada \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)), então qualquer primitiva (antiderivada) de \alpha'(t) fornece \alpha(t) até constantes de integração em cada componente. Ou seja, integrar vetor componente a componente é a técnica correta aqui.
Explicando passo a passo:
  • Integrar a primeira componente t^{2} em relação a t dá uma primitiva X(t) tal que X'(t)=t^{2}.
  • Integrar a segunda componente e^{t} em relação a t dá uma primitiva Y(t) tal que Y'(t)=e^{t}.

Passo 3

Vamos calcular as primitivas elemento a elemento (mostrando as contas explicitamente):
  • Para a primeira componente:
    \int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}+C_{1},
    onde C_{1} é uma constante real arbitrária (constante de integração).
  • Para a segunda componente:
    \int e^{t}\,dt=e^{t}+C_{2},
    onde C_{2} é outra constante real arbitrária.
Portanto, uma primitiva geral para \alpha'(t) é a função
\alpha(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}+C_{1},\;e^{t}+C_{2}\right),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial \alpha(0)=(2,0) para determinar C_{1} e C_{2}.
Avaliaremos \alpha(0) a partir da expressão geral:
\alpha(0)=\left(\frac{0^{3}}{3}+C_{1},\;e^{0}+C_{2}\right)=\left(C_{1},\;1+C_{2}\right).
Comparando com \alpha(0)=(2,0) obtemos o sistema para as constantes:
C_{1}=2,\qquad 1+C_{2}=0.
Daí
C_{1}=2,\qquad C_{2}=-1.

Passo 5

Substituindo as constantes encontradas na expressão geral obtemos explicitamente a curva (aqui é a etapa de juntar tudo):
\alpha(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}+2,\;e^{t}-1\right).
Agora verificações importantes (para garantir que estamos prontos para a prova):
  • Verificação da derivada: derivando componente a componente,
    \alpha'(t)=\left(\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}+2\right),\;\frac{d}{dt}\!\left(e^{t}-1\right)\right) =\bigl(t^{2},e^{t}\bigr),
    que coincide com a derivada dada no enunciado. Boa.
  • Verificação de regularidade: \alpha é regular se \alpha'(t)\neq(0,0) para todo t. Observe que a segunda componente de \alpha'(t) é e^{t}, e para todo t vale e^{t}>0. Portanto \alpha'(t) nunca é o vetor nulo. Uma forma formal de ver isso é calcular a norma:
    \bigl\|\alpha'(t)\bigr\|=\sqrt{(t^{2})^{2}+e^{2t}}=\sqrt{t^{4}+e^{2t}}>0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
    Assim \alpha é regular.

Passo 6

Resumo intuitivo e dica de prova: para problemas que dão \alpha'(t) e pedem \alpha(t), integrar componente a componente é a regra. Não esqueça das constantes de integração — use sempre as condições iniciais (como \alpha(0)) para encontrá-las. E para checar regularidade, verifique se a derivada pode ser o vetor zero em algum ponto; aqui não pode por causa de e^{t}>0.

Resposta

\displaystyle \alpha(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}+2,\;e^{t}-1\right)

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