Obtenha uma curva regular \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que \alpha(0)=(2,0) e \alpha^{\prime}(t)=\left(t^{2}, e^{t}\right).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma curva regular \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 que satisfaça duas condições. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
Pedido: construir uma função \alpha(t) definida para todo t\in\mathbb{R} tal que \alpha seja regular (ou seja, \alpha'(t)\neq(0,0) para todo t) e que satisfaça as condições abaixo.
Informações dadas:
Valor inicial: \alpha(0)=(2,0).
Derivada: \alpha'(t)=\bigl(t^{2},e^{t}\bigr) para todo t\in\mathbb{R}.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida, sem pânico): se uma função vetorial \alpha(t)=(x(t),y(t)) tem derivada \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)), então qualquer primitiva (antiderivada) de \alpha'(t) fornece \alpha(t) até constantes de integração em cada componente. Ou seja, integrar vetor componente a componente é a técnica correta aqui.
Explicando passo a passo:
Integrar a primeira componente t^{2} em relação a t dá uma primitiva X(t) tal que X'(t)=t^{2}.
Integrar a segunda componente e^{t} em relação a t dá uma primitiva Y(t) tal que Y'(t)=e^{t}.
Passo 3
Vamos calcular as primitivas elemento a elemento (mostrando as contas explicitamente):
Para a primeira componente:
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante real arbitrária (constante de integração).
Para a segunda componente:
\int e^{t}\,dt=e^{t}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante real arbitrária.
Portanto, uma primitiva geral para \alpha'(t) é a função
que coincide com a derivada dada no enunciado. Boa.
Verificação de regularidade: \alpha é regular se \alpha'(t)\neq(0,0) para todo t. Observe que a segunda componente de \alpha'(t) é e^{t}, e para todo t vale e^{t}>0. Portanto \alpha'(t) nunca é o vetor nulo. Uma forma formal de ver isso é calcular a norma:
\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|=\sqrt{(t^{2})^{2}+e^{2t}}=\sqrt{t^{4}+e^{2t}}>0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Assim \alpha é regular.
Passo 6
Resumo intuitivo e dica de prova: para problemas que dão \alpha'(t) e pedem \alpha(t), integrar componente a componente é a regra. Não esqueça das constantes de integração — use sempre as condições iniciais (como \alpha(0)) para encontrá-las. E para checar regularidade, verifique se a derivada pode ser o vetor zero em algum ponto; aqui não pode por causa de e^{t}>0.