Encontre o Domínio a Imagem e faça o gráfico de cada funções abaixo
Passo 1
O enunciado define a função por partes
Temos uma função f(x) que vale:
f(x)= 1, & -3<= x<= -1 |x|, & -12
Precisamos encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico utilizando análise de intervalos e conceitos de valor absoluto, função quadrática e logaritmo natural.
Passo 2
Para determinar o domínio, basta reunir todos os x para os quais f está definida: no primeiro ramo x varia em [-3,-1], no segundo em (-1,1), no terceiro em (1,2) e no quarto em (2,infty). Note que em x=-1 a função vale 1, mas em x=1 e em x=2 não há definição. Assim o domínio é
[-3,-1]cup(-1,1)cup(1,2)cup(2,infty)
Passo 3
Para encontrar a imagem, analisamos cada ramo:
– Em [-3,-1], f(x)=1 constante, gera o valor {1}.
– Em (-1,1), f(x)=|x| varia de 0 (em x=0) até valores próximos de 1 (quando xtopm1, mas sem atingir 1). Dá o conjunto [0,1).
– Em (1,2), f(x)=x^2 varia de valores próximos de 1 (quando xto1^+) até próximo de 4 (quando xto2^-), gerando (1,4).
– Em (2,infty), f(x)=ln(x) varia de ln(2) (não incluído) até +infty, ou seja (ln2,infty).
Fazendo a união desses conjuntos temos
1cup[0,1)cup(1,4)cup(ln2,infty)=[0,infty)
Passo 4
Para esboçar o gráfico, combinamos cada ramo no plano:
– Ramo constante em [-3,-1]: segmento horizontal em y=1 com pontos fechados em x=-3 e x=-1.
– Ramo y=|x| em (-1,1): “V” centrado em (0,0), pontos abertos em x=pm1.
– Ramo y=x^2 em (1,2): arco de parábola entre x=1 e x=2, com círculos abertos nos extremos em (1,1) e (2,4).
– Ramo y=ln(x) para x>2: curva crescente passando por (e,1), com círculo aberto em (2,ln2) e se estendendo indefinidamente para a direita e para cima.
Passo 5
O esboço final mostra quatro partes distintas ligadas somente pelos limites dos intervalos, respeitando pontos fechados (quando incluídos) e abertos (quando excluídos).