Obtenha uma representação da forma
ou
, encontrando as curvas paramétricas (curvas
das superfícies e vetores
normais a elas.
Cilindro elíptico
Cilindro elíptico
Passo 1
O enunciado dá o cilindro elíptico parametrizado por
e pede: (i) a forma implícita
ou
, (ii) as curvas de nível
e
, e (iii) o vetor normal
.
Passo 2
Para achar a forma implícita, note que das duas primeiras coordenadas temos
e
. Elevando ao quadrado e somando dá a equação clássica da elipse no plano
livre:
Logo, podemos escolher
Passo 3
Para as curvas paramétricas: fixando
temos uma elipse no plano
:
Fixando
temos uma reta paralela ao eixo
:
Passo 4
Para calcular o vetor normal, primeiro encontramos as derivadas parciais:
Passo 5
O vetor normal é o produto vetorial
. Calculando:
Em geral, para ter a normal apontando para fora da região interna, podemos tomar
invertendo o sinal. Observe que esta normal é independente de
, pois o cilindro é gerado por translação ao longo do eixo
.
Resposta
A forma implícita é
As curvas são
O vetor normal pode ser tomado como
ou, invertendo sinal para ter a direção padrão externa,