Obtenha uma representação da forma g(x, y) ou g(x, y, z), encontrando as curvas paramétricas (curvas u=c t e e v=c t e) das superfícies e vetores N=ru times rv normais a elas.
Cilindro elíptico r(u, v)=[a cos v, b sen v, u]

Passo 1

O enunciado dá o cilindro elíptico parametrizado por vec r(u,v) = [acos v,;bsin v,;u] e pede: (i) a forma implícita g(x,y) ou g(x,y,z), (ii) as curvas de nível u=cte e v=cte, e (iii) o vetor normal vec N = vec ru times vec rv.

Passo 2

Para achar a forma implícita, note que das duas primeiras coordenadas temos x = acos v e y = bsin v. Elevando ao quadrado e somando dá a equação clássica da elipse no plano z livre:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Logo, podemos escolher
g(x,y) = x^2a^2 + y^2b^2 - 1 = 0

Passo 3

Para as curvas paramétricas: fixando u = u0 temos uma elipse no plano z=u0:
vec r(u0,v) = [acos v,;bsin v,;u0]
Fixando v = v0 temos uma reta paralela ao eixo z:
vec r(u,v0) = [acos v0,;bsin v0,;u]

Passo 4

Para calcular o vetor normal, primeiro encontramos as derivadas parciais:
vec ru = partial vec rpartial u = [0,;0,;1],
vec rv = partial vec rpartial v = [-asin v,;bcos v,;0]

Passo 5

O vetor normal é o produto vetorial vec N = vec ru times vec rv. Calculando:
vec N = [0,0,1] times [-asin v,;bcos v,;0] = [-bcos v,;-asin v,;0]
Em geral, para ter a normal apontando para fora da região interna, podemos tomar
vec N = [bcos v,;asin v,;0]
invertendo o sinal. Observe que esta normal é independente de u, pois o cilindro é gerado por translação ao longo do eixo z.

Resposta

A forma implícita é
g(x,y) = x^2a^2 + y^2b^2 - 1 = 0
As curvas são
vec r(u0,v) = [acos v,;bsin v,;u0], vec r(u,v0) = [acos v0,;bsin v0,;u]
O vetor normal pode ser tomado como
vec N = vec ru times vec rv = [-bcos v,;-asin v,;0]
ou, invertendo sinal para ter a direção padrão externa,
vec N = [bcos v,;asin v,;0]

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