- Obtenha uma representação por série de potências da função
em que
. Calcule
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de potências (desenvolvimento de Taylor em torno de 0) de
válida para
e, a partir dela, calcular
para todo
. Vamos usar expansão em série de Taylor e integração de séries.
Passo 2
Sabemos que a derivada de
é
. Para
temos a expansão da série geométrica:
Integramos termo a termo de 0 até
Da série de Taylor centrada em 0, o coeficiente geral de
é
. Aqui temos
para
. Assim: