1. Obtenha uma representação por série de potências da função f(x)=ln (1+x) em que |x|<1. Calcule f^(n)(0), para todo n in N.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de potências (desenvolvimento de Taylor em torno de 0) de f(x)=ln(1+x) válida para |x|<1 e, a partir dela, calcular f^(n)(0) para todo ninN. Vamos usar expansão em série de Taylor e integração de séries.

Passo 2

Sabemos que a derivada de f é f'(x)=11+x. Para |x|<1 temos a expansão da série geométrica:
11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n
Integramos termo a termo de 0 até x para obter ln(1+x):
ln(1+x)=integral0^x11+t,dt=sumn=0^infty(-1)^nx^n+1n+1=sumk=1^infty(-1)^k-1x^kk
Da série de Taylor centrada em 0, o coeficiente geral de x^n é an=f^(n)(0)/n!. Aqui temos an=(-1)^n-1/n para n>=1. Assim:
f^(n)(0)=n!,an=n!(-1)^n-1n=(-1)^n-1(n-1)!(n>=1)

Resposta

ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn, |x|<1e f^(n)(0)=(-1)^n-1(n-1)! para todo ninN

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