Obtenha uma representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência:
\int_{0}^{x} \frac{1}{4-t} d t

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências da integral \displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1}{4-t}\,dt. O conteúdo é a expansão em série geométrica de funções racionais e a integração termo a termo. Vamos usar a série geométrica
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n\quad\text{para }|u|<1,
aplicando-a a u=\tfrac{t}{4}.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como
\frac{1}{4-t} =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{t}{4}}
e para \bigl|\tfrac{t}{4}\bigr|<1 expandimos:
\frac{1}{1-\tfrac{t}{4}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{t}{4}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{4^n}.
Logo
\frac{1}{4-t} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{4^{n+1}}.

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a x. Para cada n\ge0,
\int_{0}^{x}\frac{t^n}{4^{n+1}}\,dt =\frac{1}{4^{n+1}}\int_{0}^{x}t^n\,dt =\frac{1}{4^{n+1}}\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Portanto
\int_{0}^{x}\frac{1}{4-t}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)4^{n+1}}.

Passo 4

Para escrever a soma em potências de x^n começando em n=1, faça m=n+1. Então
\int_{0}^{x}\frac{1}{4-t}\,dt =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{m\,4^{m}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{n}.

Passo 5

O raio de convergência vem do teste da razão para a_n=\tfrac{1}{n4^n}:
\lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr| =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{4},
logo R=4.

Resposta

\int_{0}^{x}\frac{1}{4-t}\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,4^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{n},
com raio de convergência R=4.

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