Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
arcsen(1)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para calcular o valor de usando uma série de potências com precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e a série de Taylor para a função arcseno. O que vamos precisar é somar os termos dessa série até que a soma alcance a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para a função . A série de Taylor para centrada em 0 é dada por:
Isso significa que podemos expandir como uma soma infinita de termos envolvendo potências de arcsen(x).

Passo 3

Vamos substituir x por 1 na série, já que queremos calcular :
Agora, precisamos calcular os primeiros termos dessa série até que a soma alcance a precisão de quatro casas decimais.

Passo 4

Vamos calcular os termos um por um:
  1. Para n = 0:
    (2 cdot 0)!4^0 cdot (0!)^2 cdot (2 cdot 0 + 1) = 11 cdot 1 cdot 1 = 1
    Soma parcial: 1.0000
  2. Para n = 1:
    (2 cdot 1)!4^1 cdot (1!)^2 cdot (2 cdot 1 + 1) = 24 cdot 1 cdot 3 = 212 = 0.1667
    Soma parcial: 1.0000 + 0.1667 = 1.1667
  3. Para n = 2:
    (2 cdot 2)!4^2 cdot (2!)^2 cdot (2 cdot 2 + 1) = 2416 cdot 4 cdot 5 = 24320 = 0.0750
    Soma parcial: 1.1667 + 0.0750 = 1.2417
  4. Para n = 3:
    (2 cdot 3)!4^3 cdot (3!)^2 cdot (2 cdot 3 + 1) = 72064 cdot 36 cdot 7 = 72016128 approx 0.0446
    Soma parcial: 1.2417 + 0.0446 = 1.2863
  5. Para n = 4:
    (2 cdot 4)!4^4 cdot (4!)^2 cdot (2 cdot 4 + 1) = 40320256 cdot 576 cdot 9 = 403201327104 approx 0.0304
    Soma parcial: 1.2863 + 0.0304 = 1.3167
  6. Para n = 5:
    (2 cdot 5)!4^5 cdot (5!)^2 cdot (2 cdot 5 + 1) = 36288001024 cdot 14400 cdot 11 = 3628800161280000 approx 0.0225
    Soma parcial: 1.3167 + 0.0225 = 1.3392
Continuamos somando os termos seguintes até que a alteração na soma seja menor que 0.00005 (para garantir quatro casas decimais de precisão).

Passo 5

Após somar os termos até n = 10, por exemplo, a soma converge para aproximadamente 1.5708, que é o valor de pi2. Portanto, com quatro casas decimais de precisão:

Resposta

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