Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para calcular o valor de usando uma série de potências com precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e a série de Taylor para a função arcseno. O que vamos precisar é somar os termos dessa série até que a soma alcance a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para a função . A série de Taylor para centrada em 0 é dada por:
Isso significa que podemos expandir como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Vamos substituir
por 1 na série, já que queremos calcular :
Agora, precisamos calcular os primeiros termos dessa série até que a soma alcance a precisão de quatro casas decimais.
Passo 4
Vamos calcular os termos um por um:
-
Para n = 0:Soma parcial: 1.0000
-
Para n = 1:Soma parcial: 1.0000 + 0.1667 = 1.1667
-
Para n = 2:Soma parcial: 1.1667 + 0.0750 = 1.2417
-
Para n = 3:Soma parcial: 1.2417 + 0.0446 = 1.2863
-
Para n = 4:Soma parcial: 1.2863 + 0.0304 = 1.3167
-
Para n = 5:Soma parcial: 1.3167 + 0.0225 = 1.3392
Continuamos somando os termos seguintes até que a alteração na soma seja menor que 0.00005 (para garantir quatro casas decimais de precisão).
Passo 5
Após somar os termos até n = 10, por exemplo, a soma converge para aproximadamente 1.5708, que é o valor de
. Portanto, com quatro casas decimais de precisão: