Obtenha uma representação em série de potências em torno de
(dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências em torno de $ a = 0 $ para a função $ f(x) = \cos \sqrt{x+1} $ e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar séries de Taylor, especialmente as de funções como raiz quadrada e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar uma série de potências de $ f(x) $ em torno de $ a = 0 $, podemos usar a série de Taylor. A série de Taylor para uma função $ g(x) $ em torno de $ a $ é dada por:
No nosso caso, $ a = 0 $, então a série fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a função $ f(x) = \cos \sqrt{x+1} $. Para facilitar, vamos primeiro expandir $ \sqrt{x+1} $ em uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Sabemos que:
Passo 4
Em seguida, substituímos essa expansão na função cosseno. Ou seja, queremos expandir:
Para isso, usamos a série de Taylor do cosseno, que é:
Passo 5
Substituindo $ z = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots $ na série do cosseno, obtemos:
Para simplificar, podemos considerar apenas os primeiros termos da série para obter uma aproximação da série de potências.
Passo 6
Calculando os primeiros termos, temos:
Simplificando os termos, obtemos a série de potências aproximada de $ f(x) $.
Passo 7
Para determinar o intervalo de convergência, observamos que a série de Taylor do cosseno converge para todos os números reais. Porém, como substituímos $ z = \sqrt{x+1} $, precisamos garantir que $ x+1 \geq 0 $, ou seja, $ x \geq -1 $.
Além disso, para que a série original converja, a série interna $ \sqrt{x+1} $ também deve convergir, o que já está garantido para $ x \geq -1 $.
Resposta
A representação em série de potências de $ f(x) = \cos \sqrt{x+1} $ em torno de $ a = 0 $ é:
E o intervalo de convergência dessa série é $ x \geq -1 $.