Obtenha uma representação em série de potências (em torno de
) para as seguintes funções; determine também o intervalo de convergência para cada uma das séries. Use
, se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \frac{1}{1 + x} $ em torno de $ x_0 = 0 $. Além disso, precisamos descobrir o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a série geométrica conhecida:
Passo 2
Primeiro, observe que a fórmula da série geométrica que conhecemos é para $ \frac{1}{1 - x} $. Mas a função que queremos representar é $ \frac{1}{1 + x} $. Para adaptarmos a fórmula, vamos reescrever a função:
Passo 3
Agora, comparando com a fórmula da série geométrica, temos que substituir $ x $ por $ -x $. Assim, a série de potências para $ f(x) $ será:
Passo 4
Vamos simplificar os termos da série:
Passo 5
Agora, identificamos que essa é uma série geométrica com razão $ -x $. A série converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1:
Resposta
A representação em série de potências de $ f(x) = \frac{1}{1 + x} $ em torno de $ x_0 = 0 $ é:
E o intervalo de convergência dessa série é $ |x| < 1 $.