Obtenha uma representação em série de potências (em torno de x0=0 ) para as seguintes funções; determine também o intervalo de convergência para cada uma das séries. Use 1+x+x^2+cdots+x^n+cdots = 1 /(1-x), se |x|<1.
f(x)=11+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \frac{1}{1 + x} $ em torno de $ x_0 = 0 $. Além disso, precisamos descobrir o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a série geométrica conhecida:
f(x) = 11 + x

Passo 2

Primeiro, observe que a fórmula da série geométrica que conhecemos é para $ \frac{1}{1 - x} $. Mas a função que queremos representar é $ \frac{1}{1 + x} $. Para adaptarmos a fórmula, vamos reescrever a função:
11 - x

Passo 3

Agora, comparando com a fórmula da série geométrica, temos que substituir $ x $ por $ -x $. Assim, a série de potências para $ f(x) $ será:
x

Passo 4

Vamos simplificar os termos da série:
f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - cdots

Passo 5

Agora, identificamos que essa é uma série geométrica com razão $ -x $. A série converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1:
-x

Resposta

A representação em série de potências de $ f(x) = \frac{1}{1 + x} $ em torno de $ x_0 = 0 $ é:
f(x) = 11 + x
E o intervalo de convergência dessa série é $ |x| < 1 $.

Exercícios relacionados