Suponha que lim n infty|an+1| /|an|=1 / 10. O raio de convergência da série de potências sumn=0^infty an x^n é 10 ? Qual é raio de convergência da série de potências sumn=1^infty n an x^n-1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre séries de potências e o raio de convergência. O enunciado nos dá o limite limn infty |an+1||an| = 110. Precisamos descobrir se o raio de convergência da série sumn=0^infty an x^n é 10 e também encontrar o raio de convergência da série sumn=1^infty n an x^n-1. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão que ajuda a encontrar o raio de convergência das séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Em séries de potências da forma sumn=0^infty an x^n, o raio de convergência R é o valor tal que a série converge para |x| < R e diverge para |x| > R. Para encontrar R, usamos o Teste da Razão que diz:
1R = limn infty | an+1an |
No nosso caso, nos foi dado que limn infty |an+1||an| = 110. Então, aplicando a fórmula:
1R = 110 implies R = 10

Passo 3

Então, sim! O raio de convergência da série sumn=0^infty an x^n é 10, conforme esperado pelo Teste da Razão.

Passo 4

Agora, vamos calcular o raio de convergência da segunda série: sumn=1^infty n an x^n-1.
Primeiro, vamos reescrever essa série para deixá-la na forma padrão de uma série de potências:
sumn=1^infty n an x^n-1 = summ=0^infty (m+1) am+1 x^m
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão novamente para encontrar o novo raio de convergência R':
Simplificando a expressão:
1R' = limm infty | (m+2) am+2(m+1) am+1 |
Portanto:
1R' = limm infty | m+2m+1 cdot am+2am+1 | = limm infty m+2m+1 cdot 110 = 1 cdot 110 = 110

Resposta

O raio de convergência da série sumn=0^infty an x^n é 10, e o raio de convergência da série sumn=1^infty n an x^n-1 também é 10.

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