Suponha que . O raio de convergência da série de potências é 10 ? Qual é raio de convergência da série de potências ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre séries de potências e o raio de convergência. O enunciado nos dá o limite . Precisamos descobrir se o raio de convergência da série é 10 e também encontrar o raio de convergência da série . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão que ajuda a encontrar o raio de convergência das séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Em séries de potências da forma , o raio de convergência é o valor tal que a série converge para e diverge para . Para encontrar , usamos o Teste da Razão que diz:
No nosso caso, nos foi dado que limn infty |an+1||an| = 110. Então, aplicando a fórmula:
1R = 110 implies R = 10
Passo 3
Então, sim! O raio de convergência da série sumn=0^infty an x^n é 10, conforme esperado pelo Teste da Razão.
Passo 4
Agora, vamos calcular o raio de convergência da segunda série: sumn=1^infty n an x^n-1.
Primeiro, vamos reescrever essa série para deixá-la na forma padrão de uma série de potências:
sumn=1^infty n an x^n-1 = summ=0^infty (m+1) am+1 x^m
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão novamente para encontrar o novo raio de convergência R':