Suponha conhecido que a série de potências
seja convergente no intervalo
. O que podemos afirmar sobre o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências dada por
, que sabemos que converge quando
. Nosso objetivo é descobrir qual é o intervalo de convergência da outra série
. Para isso, vamos precisar entender sobre raio de convergência e como manipular séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a segunda série para facilitar a análise. Observa que
pode ser escrito como
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos entender o que isso significa para o raio de convergência. Sabemos que multiplicar a série original por
não altera o raio de convergência, apenas desloca a série. A divisão por
introduz um termo que, conforme
cresce, tende a diminuir o impacto de
.
Passo 4
Para determinar o novo intervalo de convergência, usamos o Teste da Razão. Mas, como já sabemos que a série original converge para
, e as manipulações que fizemos (multiplicar por
e dividir por
) não afetam o raio de convergência, concluímos que o novo intervalo de convergência permanece o mesmo.
Resposta
O intervalo de convergência da série
é
.