Suponha conhecido que a série de potências sumn=0^infty an x^n seja convergente no intervalo |x|<2. O que podemos afirmar sobre o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty ann+1 x^n+1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências dada por sumn=0^infty an x^n, que sabemos que converge quando |x| < 2. Nosso objetivo é descobrir qual é o intervalo de convergência da outra série sumn=0^infty ann+1 x^n+1. Para isso, vamos precisar entender sobre raio de convergência e como manipular séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a segunda série para facilitar a análise. Observa que x^n+1 pode ser escrito como x cdot x^n. Então, temos:
sumn=0^infty ann+1 x^n+1 = x sumn=0^infty ann+1 x^n

Passo 3

Agora, vamos entender o que isso significa para o raio de convergência. Sabemos que multiplicar a série original por x não altera o raio de convergência, apenas desloca a série. A divisão por n+1 introduz um termo que, conforme n cresce, tende a diminuir o impacto de an.

Passo 4

Para determinar o novo intervalo de convergência, usamos o Teste da Razão. Mas, como já sabemos que a série original converge para |x| < 2, e as manipulações que fizemos (multiplicar por x e dividir por n+1) não afetam o raio de convergência, concluímos que o novo intervalo de convergência permanece o mesmo.

Resposta

O intervalo de convergência da série sumn=0^infty ann+1 x^n+1 é |x| < 2.

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