Obtenha uma representação em série de potências (em torno de x0=0 ) para as seguintes funções; determine também o intervalo de convergência para cada uma das séries. Use 1+x+x^2+cdots+x^n+cdots = 1 /(1-x), se |x|<1.
f(x)=23-x

Passo 1

Temos a função f(x)=23-x e queremos sua expansão em série de potências em torno de x0=0. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a série geométrica sumn=0^infty t^n=11-t,válida para |t|<1.

Passo 2

Para usar a forma geométrica, reescrevemos f(x) de modo a ter 1-algo no denominador. Fazendo fatoração, obtemos
23-x=23cdot11-x3

Passo 3

Agora, aplicamos a série geométrica com t=x3. Como |t|<1 equivale a |x|<3, temos
11-x3=sumn=0^inftyl(x3r)^n

Passo 4

Multiplicando cada termo por 2/3, a série de potências de f(x) fica
23-x=sumn=0^infty23cdotx^n3^n=sumn=0^infty23^n+1,x^n

Passo 5

O intervalo (ou raio) de convergência vem da condição |x/3|<1, isto é, |x|<3.

Resposta

23-x=sumn=0^infty23^n+1,x^n,|x|<3

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