Use o Teste da Raiz (pag. 41 das Notas de Aula) para verificar que se
l lim n infty raiz[n]|an|=c , onde c>0, an^1n
então o raio de convergência da série de potências sumn=1^infty an x^n é R=1 / c.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências do tipo sumn=1^infty an x^n e queremos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma técnica da análise de séries para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série sum an x^n, se calcularmos o limite limn to infty raiz[n]|an| e obtivermos um valor c, então:
  • Se c cdot |x| < 1, a série converge.
  • Se c cdot |x| > 1, a série diverge.
  • Se c cdot |x| = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Dado que limn to infty raiz[n]|an| = c com c > 0, queremos encontrar o raio de convergência R. O raio de convergência é o valor de |x| para o qual a série transita de convergente para divergente.

Passo 4

Para que a série converja, precisamos que c cdot |x| < 1. Vamos resolver essa inequação para |x|:
c cdot |x| < 1 implies |x| < 1c
Isso nos mostra que a série converge para todos os |x| menores que 1c.

Passo 5

O raio de convergência R é exatamente esse valor 1c. Isso significa que:
R = 1c

Resposta

O raio de convergência da série de potências sumn=1^infty an x^n é R = dfrac1c.

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