Use o Teste da Raiz (pag. 41 das Notas de Aula) para verificar que se
então o raio de convergência da série de potências
é
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências do tipo
e queremos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é uma técnica da análise de séries para determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Ele diz que, para uma série
, se calcularmos o limite
e obtivermos um valor
, então:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Dado que
com
, queremos encontrar o raio de convergência
. O raio de convergência é o valor de
para o qual a série transita de convergente para divergente.
Passo 4
Para que a série converja, precisamos que
. Vamos resolver essa inequação para
:
Isso nos mostra que a série converge para todos os
menores que
.
Passo 5
O raio de convergência
é exatamente esse valor
. Isso significa que:
Resposta
O raio de convergência da série de potências
é
.