1. Obtenha a reta tangente à curva dada pela equação cos (x+y)=y, no ponto P=(pi / 2,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva implícita
cos(x+y)=y
no ponto P=(tfracpi2,0).
O conteúdo envolvido é derivação implícita para obter y' em função de x e y e, em seguida, usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de cos(x+y)=y em relação a x. Do lado esquerdo, usando a regra da cadeia,
ddxl[cos(x+y)r] =-sin(x+y),ddx(x+y) =-sin(x+y),(1+y')
Do lado direito, ddx[y]=y'. Logo a igualdade das derivadas é
-sin(x+y),(1+y')=y'

Passo 3

Isolando y' na equação
-sin(x+y)-sin(x+y),y'=y'
temos
-sin(x+y)=y'l(1+sin(x+y)r) Longrightarrow y'=-sin(x+y)1+sin(x+y)

Passo 4

Avaliaremos y' em P=(x,y)=(tfracpi2,0). Como sin(tfracpi2+0)=1,
m = y'l(tfracpi2,0r) =-11+1 =-12

Passo 5

A forma ponto-inclinação da reta tangente em P=(x0,y0) com coeficiente angular m é
y - y0 = m,(x - x0)
Aqui x0=tfracpi2, y0=0 e m=-tfrac12.

Resposta

y = -tfrac12x + pi4

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