Exercício 12. Considere uma função escalar
e uma função vetorial
. O objetivo deste problema é entender a derivada do produto
dado por
Prove que, para
fixado, a transformação linear
satisfaz
Ou ainda, com a notação do Exercício 15 da Lista Zero, tem-se
A fórmula acima é um tipo de Regra do Produto. A derivada de uma função escalar vezes uma vetorial nos dá, como de costume, o primeiro termo vezes a derivada do segundo mais o segundo termo vezes a derivada do primeiro. No entanto, deve-se tomar cuidado na análise de cada um dos termos: em
encontramos um número
vezes um funcional linear
, o que resulta em um já esperado funcional linear; por outro lado, é o produto tensorial
que descreve a noção correta de produto entre o vetor
e o funcional linear
.
Observamos que algumas referências usam a notação
, onde o superescrito
indica que se toma “transposta” de
. Neste caso, o item anterior pode ser reescrito como
pois, como você deve verificar,
. Note ainda que o símbolo
apenas representa um gradiente na fórmula acima quando recai sobre
, que é uma função escalar.