Use integração por partes para calcular as integrais abaixo:
integral arctg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral arctg(x),dx
usando integração por partes. O que vamos precisar é da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e das derivações/integral básicas de arctg(x) e de 1.

Passo 2

Escolhemos
u = arctg(x), dv = dx
Essa escolha faz sentido porque a derivada de arctg(x) é simples e dv=dx é fácil de integrar.

Passo 3

Calculamos du e v. Como
ddxl(arctg(x)r) = 11+x^2,
temos
du = 11+x^2,dx,
e integrando dv obtemos
v = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
ficamos com
integral arctg(x),dx = x,arctg(x) - integral xcdot11+x^2,dx

Passo 5

Para calcular
integral x1+x^2,dx,
fazemos a substituição t = 1+x^2, então dt = 2x,dx e
integral x1+x^2,dx = 12integral dtt = 12lnl|tr| + C = 12lnl(1+x^2r) + C

Passo 6

Substituindo esse resultado em nossa expressão de partes, obtemos
integral arctg(x),dx = x,arctg(x) - 12lnl(1+x^2r) + C

Resposta

integral arctg(x),dx = x,arctg(x) - tfrac12lnl(1+x^2r) + C

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