Questão 4. Seja V um espaço vetorial e T um operador linear sobre V.
a) (0,3) Prove que se lambda é autovalor de T então lambda^n é autovalor de T^n.
b) (0,5) Seja V=R^2, e T um operador linear sobre V definido por T(x, y)=(5 x+3 y4, 3 x+5 y4). Mostre que T é diagonalizável e calcule T^10(v), onde v=(5,1).

Passo 1

O enunciado tem duas partes sobre autovalores e diagonalização de operadores lineares. Na (a) precisamos mostrar que, se lambda é autovalor de T, então lambda^n é autovalor de T^n. Na (b) temos V=R^2 e
T(x,y)=l(tfrac5x+3y4,,tfrac3x+5y4r)
Queremos provar que T é diagonalizável e calcular T^10(v) para v=(5,1). Para isso vamos encontrar a matriz de T, achar seus autovalores e autovetores, expressar v na base de autovetores e usar a parte (a).

Passo 2

Prova de que, se lambda é autovalor de T, então lambda^n é autovalor de T^n.
Como lambda é autovalor, existe 0neq vin V tal que
T(v)=lambda,v
Aplicando T sucessivamente n vezes, chega-se a
T^n(v)=Tl(T^n-1(v)r)=lambda,T^n-1(v)=dots=lambda^n,v
Como vneq0, isso mostra que lambda^n é autovalor de T^n.

Passo 3

Matriz de na base canônica.
Se escrevemos , então
O polinômio característico de é
Isso leva a
]

Passo 4

Autovetores e diagonalização.
Para lambda1=2 resolvemos (A-2I)v=0, obtendo autovetor v1=(1,1).
Para lambda2=tfrac12 resolvemos (A-tfrac12I)v=0, obtendo autovetor v2=(1,-1).
Como v1 e v2 são linearmente independentes, T é diagonalizável na base v1,v2.

Passo 5

Decomposição de v=(5,1) e cálculo de T^10(v).
Queremos a,b tais que
a(1,1)+b(1,-1)=(5,1)
Isso dá o sistema a+b=5, a-b=1. Daí a=3, b=2.
Pela parte (a), em base de autovetores
T^10(v)=a,lambda1^10v1+b,lambda2^10v2 =3cdot2^10(1,1)+2cdotl(tfrac12r)^10(1,-1)

Passo 6

Expressão final numérica.
Calculando 2^10=1024 e l(tfrac12r)^10=tfrac11024,
T^10(v) =3cdot1024,(1,1)+2cdottfrac11024,(1,-1) =(3072,3072)+l(tfrac21024,-tfrac21024r) =l(3072+tfrac1512,,3072-tfrac1512r)

Resposta

(a) Se T(v)=lambda v então T^n(v)=lambda^n v, logo (lambda^n) é autovalor de (T^n) ãé
(b) T é diagonalizável com autovalores 2,tfrac12 e T^10(5,1)=l(3072+tfrac1512,,3072-tfrac1512r) éá

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