Questão 4. Seja um espaço vetorial e um operador linear sobre .
a) Prove que se é autovalor de então é autovalor de .
b) Seja , e um operador linear sobre definido por . Mostre que é diagonalizável e calcule , onde .
Passo 1
O enunciado tem duas partes sobre autovalores e diagonalização de operadores lineares. Na (a) precisamos mostrar que, se é autovalor de , então é autovalor de . Na (b) temos e
Queremos provar que é diagonalizável e calcular para . Para isso vamos encontrar a matriz de , achar seus autovalores e autovetores, expressar na base de autovetores e usar a parte (a).
Passo 2
Prova de que, se é autovalor de , então é autovalor de .
Como é autovalor, existe tal que
Aplicando sucessivamente vezes, chega-se a
Como , isso mostra que é autovalor de .
Passo 3
Matriz de na base canônica.
Se escrevemos , então
O polinômio característico de é
Isso leva a
]
Passo 4
Autovetores e diagonalização.
Para lambda1=2 resolvemos (A-2I)v=0, obtendo autovetor v1=(1,1).
Para lambda2=tfrac12 resolvemos (A-tfrac12I)v=0, obtendo autovetor v2=(1,-1).
Como v1 e v2 são linearmente independentes, T é diagonalizável na base v1,v2.
Passo 5
Decomposição de v=(5,1) e cálculo de T^10(v).
Queremos a,b tais que
a(1,1)+b(1,-1)=(5,1)
Isso dá o sistema a+b=5, a-b=1. Daí a=3, b=2.
Pela parte (a), em base de autovetores