Exercício 12. Considere uma função escalar
e uma função vetorial
. O objetivo deste problema é entender a derivada do produto
dado por
Prove que, para
fixado, a transformação linear
satisfaz
Ou ainda, com a notação do Exercício 15 da Lista Zero, tem-se
A fórmula acima é um tipo de Regra do Produto. A derivada de uma função escalar vezes uma vetorial nos dá, como de costume, o primeiro termo vezes a derivada do segundo mais o segundo termo vezes a derivada do primeiro. No entanto, deve-se tomar cuidado na análise de cada um dos termos: em
encontramos um número
vezes um funcional linear
, o que resulta em um já esperado funcional linear; por outro lado, é o produto tensorial
que descreve a noção correta de produto entre o vetor
e o funcional linear
.
Observamos que algumas referências usam a notação
, onde o superescrito
indica que se toma “transposta” de
. Neste caso, o item anterior pode ser reescrito como
pois, como você deve verificar,
. Note ainda que o símbolo
apenas representa um gradiente na fórmula acima quando recai sobre
, que é uma função escalar.
Passo 1
Vamos resumir o que temos e o que queremos provar. Trabalhamos com uma função escalar
e uma função vetorial
, ambas diferenciáveis em
. Definimos o produto ponto a ponto
. Nosso objetivo é mostrar que a diferencial linear de
em
, denotada
, satisfaz
Para isso, usaremos a definição de diferenciabilidade em termos de aproximação linear com resto pequeno.
Passo 2
Escrevemos a diferença
e separamos em dois termos:
Agora somamos e subtraímos
, obtendo
Passo 3
Pela diferenciabilidade de
em
, existe um resto
tal que
De modo análogo, para
temos resto
com
Substituindo na expressão do passo anterior,
Passo 4
Expandindo e agrupando o termo linear em
, obtemos
onde o resto
é
Mostra-se que
usando que
é contínua (logo
) e que
são de ordem
. Assim, pela definição de derivada, a parte linear em
é exatamente
Passo 5
Observamos que o operador linear
é precisamente o produto tensorial
. Portanto, em termos de operadores,
Resposta
ou seja,