Exercício 12. Considere uma função escalar u: R^d longrightarrow R e uma função vetorial f: R^d longrightarrow R^d. O objetivo deste problema é entender a derivada do produto u f: R^d longrightarrow R^d dado por
(u f)(x):=u(x) f(x)
Prove que, para x in R^d fixado, a transformação linear (u f)^prime(x) in L(R^d ; R^d) satisfaz
(u f)^prime(x) cdot h=u(x)(f(x) cdot h)+(d u(x) cdot h) f(x), para todo h in R^d
Ou ainda, com a notação do Exercício 15 da Lista Zero, tem-se
(u f)^prime(x)=u(x) f^prime(x)+f(x) otimes d u(x)
A fórmula acima é um tipo de Regra do Produto. A derivada de uma função escalar vezes uma vetorial nos dá, como de costume, o primeiro termo vezes a derivada do segundo mais o segundo termo vezes a derivada do primeiro. No entanto, deve-se tomar cuidado na análise de cada um dos termos: em u(x) f^prime(x) encontramos um número u(x) in R vezes um funcional linear f^prime(x) in L(R^d ; R^d), o que resulta em um já esperado funcional linear; por outro lado, é o produto tensorial f(x) otimes d u(x) que descreve a noção correta de produto entre o vetor f(x) in R^d e o funcional linear d u(x) in(R^d)^*.
Observamos que algumas referências usam a notação nabla f(x):=f^prime(x)^T, onde o superescrito T indica que se toma “transposta” de f^prime(x). Neste caso, o item anterior pode ser reescrito como
nabla(u f)(x)=u(x) nabla f(x)+nabla u(x) otimes f(x)
pois, como você deve verificar, (v otimes w)^T=w otimes v. Note ainda que o símbolo nabla apenas representa um gradiente na fórmula acima quando recai sobre u, que é uma função escalar.

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que queremos provar. Trabalhamos com uma função escalar ucolonR^dtoR e uma função vetorial fcolonR^dtoR^d, ambas diferenciáveis em x. Definimos o produto ponto a ponto (u f)(x)=u(x),f(x). Nosso objetivo é mostrar que a diferencial linear de u f em x, denotada (u f)'(x)in L(R^d;R^d), satisfaz
(u f)'(x)cdot h = u(x)l(f'(x)cdot hr) + l(du(x)cdot hr),f(x), forall hinR^d
Para isso, usaremos a definição de diferenciabilidade em termos de aproximação linear com resto pequeno.

Passo 2

Escrevemos a diferença (u f)(x+h)-(u f)(x) e separamos em dois termos:
(u f)(x+h)-(u f)(x) = u(x+h),f(x+h) - u(x),f(x)
Agora somamos e subtraímos u(x+h),f(x), obtendo
u(x+h)l(f(x+h)-f(x)r) + l(u(x+h)-u(x)r),f(x)

Passo 3

Pela diferenciabilidade de f em x, existe um resto rf(h) tal que
f(x+h)-f(x) = f'(x)cdot h + rf(h), com |rf(h)||h|to0;quando hto0
De modo análogo, para u temos resto ru(h) com
u(x+h)-u(x) = du(x)cdot h + ru(h), |ru(h)||h|to0
Substituindo na expressão do passo anterior,
(u f)(x+h)-(u f)(x) = u(x+h)l(f'(x)cdot h + rf(h)r) + l(du(x)cdot h + ru(h)r),f(x)

Passo 4

Expandindo e agrupando o termo linear em h, obtemos
(u f)(x+h)-(u f)(x) = u(x)l(f'(x)cdot hr) + l(du(x)cdot hr),f(x) + R(h),
onde o resto R(h) é
R(h) = l(u(x+h)-u(x)r)l(f'(x)cdot hr) + u(x+h),rf(h) + ru(h),f(x)
Mostra-se que |R(h)|/|h|to0 usando que u é contínua (logo u(x+h)to u(x)) e que rf,ru são de ordem o(|h|). Assim, pela definição de derivada, a parte linear em h é exatamente
(u f)'(x)cdot h = u(x)l(f'(x)cdot hr) + l(du(x)cdot hr),f(x)

Passo 5

Observamos que o operador linear hmapsto(du(x)cdot h),f(x) é precisamente o produto tensorial f(x)otimesdu(x). Portanto, em termos de operadores,
(u f)'(x) = u(x),f'(x) + f(x)otimesdu(x)

Resposta

(u f)'(x)cdot h = u(x)l(f'(x)cdot hr) + l(du(x)cdot hr),f(x),
ou seja,
(u f)'(x) = u(x),f'(x) + f(x)otimesdu(x)

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