Seja um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
onde * é um número real qualquer. Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.
22. Para cada t in R, considere a matriz
O enunciado dá uma forma escalonada da matriz aumentada de um sistema AX=B com 4 incógnitas e 6 equações. Os pivôs aparecem, nas linhas 1 a 4, nas colunas:
linha 1: pivô 1 (sempre não nulo);
linha 2: pivô alpha(alpha^2-1)=alpha(alpha-1)(alpha+1), com termo livre alpha+1;
linha 3: pivô alpha, com termo livre alpha^2-1;
linha 4: pivô alpha(alpha+1), com termo livre 0;
linhas 5 e 6 são todas nulas.
Para decidir existência e quantidade de soluções, vamos comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada em função de alpha.
Passo 2
Calculemos o posto da matriz de coeficientes (número de pivôs não nulos nas colunas 1 a 4): 1. Sempre há pivô em coluna 1 (valor 1ne0). 2. Há pivô em coluna 2 se e só se alpha(alpha^2-1)neq0, isto é, alphaneq0,pm1. 3. Há pivô em coluna 3 se e só se alphaneq0. 4. Há pivô em coluna 4 se e só se alpha(alpha+1)neq0, isto é, alphaneq0,-1.
Passo 3
Determine o posto aumentado e possíveis inconsistências:
Se a linha i dos coeficientes fica toda zero (pivô zero) mas o termo livre da linha i for não nulo, ocorre inconsistência e não há solução.
Analisemos caso a caso:
Passo 4
Caso alphanotin0,1,-1:
todos os pivôs das linhas 1–4 são não nulos, logo o posto da matriz de coeficientes é 4. Como não há linha inconsistente, o posto da matriz aumentada também é 4.
Como o posto iguala o número de incógnitas, existe solução única.
Passo 5
Caso alpha=0:
pivôs em colunas 2,3,4 são todos zero, ficando apenas o pivô da coluna 1. Então o posto dos coeficientes é 1.
Na linha 2, o termo livre vale alpha+1=1neq0 enquanto todos os coeficientes são zero, gerando a equação 0=1.
Há inconsistência to nenhuma solução.
Passo 6
Caso alpha=1:
pivô da coluna 2 é zero, mas da coluna 3 é 1, da coluna 4 é 2. Então o posto dos coeficientes é 3.
Porém a linha 2 tem termo livre alpha+1=2neq0 e coeficientes todos zero to inconsistência to nenhuma solução.
Passo 7
Caso alpha=-1:
pivô da coluna 2 é zero, da coluna 3 é -1, da coluna 4 é -1+(-1) que dá zero. Logo o posto dos coeficientes é 2.
Os termos livres nas linhas sem pivô (linhas 2 e 4) são nulos (alpha+1=0 e 0 respectivamente), sem inconsistência.
Posto aumentado = posto dos coeficientes = 2<4 to infinitas soluções.
Resposta
Única solução para alphanotin0,1,-1.
Nenhuma solução para alpha=0 ou alpha=1.
Infinitas soluções para alpha=-1.
Não é possível resolver o item 22 porque o enunciado não especifica o que se deve calcular sobre a matriz A(t).