Seja A X=B um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
(ccccc 1 & * & * & * & * 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha & 0 & alpha^2-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ),
onde * é um número real qualquer. Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.
22. Para cada t in R, considere a matriz
A(t)=[llll 1 & 0 & 0 & 0 0 & t & 0 & 0 0 & 0 & t & 1 0 & 0 & 1 & 1 ]

Passo 1

O enunciado dá uma forma escalonada da matriz aumentada de um sistema AX=B com 4 incógnitas e 6 equações. Os pivôs aparecem, nas linhas 1 a 4, nas colunas:
  • linha 1: pivô 1 (sempre não nulo);
  • linha 2: pivô alpha(alpha^2-1)=alpha(alpha-1)(alpha+1), com termo livre alpha+1;
  • linha 3: pivô alpha, com termo livre alpha^2-1;
  • linha 4: pivô alpha(alpha+1), com termo livre 0;
    linhas 5 e 6 são todas nulas.
    Para decidir existência e quantidade de soluções, vamos comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada em função de alpha.

Passo 2

Calculemos o posto da matriz de coeficientes (número de pivôs não nulos nas colunas 1 a 4):
1. Sempre há pivô em coluna 1 (valor 1ne0).
2. Há pivô em coluna 2 se e só se alpha(alpha^2-1)neq0, isto é, alphaneq0,pm1.
3. Há pivô em coluna 3 se e só se alphaneq0.
4. Há pivô em coluna 4 se e só se alpha(alpha+1)neq0, isto é, alphaneq0,-1.

Passo 3

Determine o posto aumentado e possíveis inconsistências:
  • Se a linha i dos coeficientes fica toda zero (pivô zero) mas o termo livre da linha i for não nulo, ocorre inconsistência e não há solução.
Analisemos caso a caso:

Passo 4

Caso alphanotin0,1,-1:
todos os pivôs das linhas 1 4 são não nulos, logo o posto da matriz de coeficientes é 4. Como não há linha inconsistente, o posto da matriz aumentada também é 4.
Como o posto iguala o número de incógnitas, existe solução única.

Passo 5

Caso alpha=0:
pivôs em colunas 2,3, 4 são todos zero, ficando apenas o pivô da coluna 1. Então o posto dos coeficientes é 1.
Na linha 2, o termo livre vale alpha+1=1neq0 enquanto todos os coeficientes são zero, gerando a equação 0=1.
Há inconsistência to nenhuma solução.

Passo 6

Caso alpha=1:
pivô da coluna 2 é zero, mas da coluna 3 é 1, da coluna 4 é 2. Então o posto dos coeficientes é 3.
Porém a linha 2 tem termo livre alpha+1=2neq0 e coeficientes todos zero to inconsistência to nenhuma solução.

Passo 7

Caso alpha=-1:
pivô da coluna 2 é zero, da coluna 3 é -1, da coluna 4 é -1+(-1) que dá zero. Logo o posto dos coeficientes é 2.
Os termos livres nas linhas sem pivô (linhas 2 e 4) são nulos ( alpha+1=0 e 0 respectivamente), sem inconsistência.
Posto aumentado = posto dos coeficientes = 2<4 to infinitas soluções.

Resposta

Única solução para alphanotin0,1,-1.
Nenhuma solução para alpha=0 ou alpha=1.
Infinitas soluções para alpha=-1.
Não é possível resolver o item 22 porque o enunciado não especifica o que se deve calcular sobre a matriz A(t).

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