Verifique se a equação é exata. Se for, encontre a solução geral da equação
2 y\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-\frac{2 x y^{2}}{1+2 x^{2}}=1+2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação é exata e, se for (ou se houver fator integrante que a torne exata), encontrar a solução geral. A equação dada é
2\,y\,(1+x^{2})\,y' - \frac{2x y^{2}}{1+2x^{2}} = 1+2x^{2}.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é y=y(x) e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação pode ser colocada em forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 para testar exatidão.
  • Temos coeficientes racionais em x e funções polinomiais em y.

Passo 2

Reescrevo a equação em forma diferencial M\,dx+N\,dy=0. Parto de
2\,y\,(1+x^{2})\,\frac{dy}{dx} - \frac{2x y^{2}}{1+2x^{2}} - (1+2x^{2}) = 0.
Multiplicando por dx obtenho
2\,y\,(1+x^{2})\,dy - \frac{2x y^{2}}{1+2x^{2}}\,dx - (1+2x^{2})\,dx = 0.
Logo escolho
M(x,y)= -\frac{2x y^{2}}{1+2x^{2}} - (1+2x^{2}),\qquad N(x,y)=2\,y\,(1+x^{2}),
de modo que a equação fica
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.

Passo 3

Para testar exatidão calculo as derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.
Derivando M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{2x\cdot 2y}{1+2x^{2}} = -\frac{4x y}{1+2x^{2}}.
Derivando N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = 2y\cdot 2x = 4x y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{4x y}{1+2x^{2}} \neq 4x y = \frac{\partial N}{\partial x},
a equação original não é exata.

Passo 4

Procuro um fator integrante que dependa apenas de x. A condição para existir \mu(x) é que
\frac{d}{dx}\ln\mu(x)=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}.
Calculo o lado direito:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{-\dfrac{4x y}{1+2x^{2}} - 4x y}{2y(1+x^{2})}.
Simplifico cancelando y (assumindo y\neq0 momentaneamente) e fazendo a soma no numerador:
-\frac{4x}{1+2x^{2}} - 4x = -4x\!\left(\frac{1}{1+2x^{2}}+1\right) = -4x\cdot\frac{2(1+x^{2})}{1+2x^{2}}.
Dividindo por 2(1+x^{2}) resulta
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = -\frac{4x}{1+2x^{2}},
que depende apenas de x. Então existe \mu(x) com
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = -\frac{4x}{1+2x^{2}}.
Integro:
\ln\mu(x)=\int -\frac{4x}{1+2x^{2}}\,dx.
Faço a substituição u=1+2x^{2}, du=4x\,dx. Então
\ln\mu(x)=\int -\frac{1}{u}\,du = -\ln u + C = -\ln(1+2x^{2}) + C.
Posso escolher a constante C=0, então
\mu(x)=\frac{1}{1+2x^{2}}.

Passo 5

Multiplico a equação diferencial por \mu(x)=\dfrac{1}{1+2x^{2}}. Os novos coeficientes são
\tilde M(x,y)=\mu M = -\frac{2x y^{2}}{(1+2x^{2})^{2}} - 1,
\tilde N(x,y)=\mu N = \frac{2y(1+x^{2})}{1+2x^{2}}.

Passo 6

Verifico exatidão da equação multiplicada. Calculo as parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = -\frac{4x y}{(1+2x^{2})^{2}},
e usando regra do quociente
\frac{\partial \tilde N}{\partial x} = 2y\cdot \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+2x^{2}}\right) = 2y\cdot \frac{(2x)(1+2x^{2})-(1+x^{2})(4x)}{(1+2x^{2})^{2}} = -\frac{4x y}{(1+2x^{2})^{2}}.
Como \dfrac{\partial \tilde M}{\partial y}=\dfrac{\partial \tilde N}{\partial x}, a equação multiplicada é exata.

Passo 7

Agora existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \tilde M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \tilde N(x,y).
Integro \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int\left(-1 - \frac{2x y^{2}}{(1+2x^{2})^{2}}\right)\,dx + h(y).
A integral separa em duas partes. A primeira é \int -1\,dx = -x. Para a segunda faço u=1+2x^{2}, du=4x\,dx, então
\int -\frac{2x y^{2}}{(1+2x^{2})^{2}}\,dx = -\frac{y^{2}}{2}\int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{y^{2}}{2}\left(-\frac{1}{u}\right) = \frac{y^{2}}{2(1+2x^{2})}.
Assim
\Phi(x,y) = -x + \frac{y^{2}}{2(1+2x^{2})} + h(y).

Passo 8

Determino h(y) comparando \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} com \tilde N. Calculo
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{2y}{2(1+2x^{2})} + h'(y) = \frac{y}{1+2x^{2}} + h'(y).
Mas deve ser igual a
\tilde N(x,y)=\frac{2y(1+x^{2})}{1+2x^{2}}.
Portanto
\frac{y}{1+2x^{2}} + h'(y) = \frac{2y(1+x^{2})}{1+2x^{2}}.
Isolando h'(y) e simplificando (cancelando o denominador (1+2x^{2})):
h'(y) = \frac{2y(1+x^{2})-y}{1+2x^{2}} = \frac{y(1+2x^{2})}{1+2x^{2}} = y.
Integro em y:
h(y)=\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C.

Passo 9

Substituo h(y) em \Phi. Temos
\Phi(x,y) = -x + \frac{y^{2}}{2(1+2x^{2})} + \frac{y^{2}}{2} + C.
Reúno os termos em y^{2}. Faço a soma
\frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2(1+2x^{2})} = y^{2}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{1+2x^{2}}\right) = y^{2}\cdot\frac{1+x^{2}}{1+2x^{2}}\cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{y^{2}(1+x^{2})}{1+2x^{2}}.
Logo a função potencial fica, até constante,
\Phi(x,y) = -x + \frac{y^{2}(1+x^{2})}{1+2x^{2}} + C.
A solução geral implícita da EDO é \Phi(x,y)=\text{constante}, isto é
- x + \frac{y^{2}(1+x^{2})}{1+2x^{2}} = C.
Opcionalmente, isolando y^{2},
y^{2} = (C+x)\,\frac{1+2x^{2}}{1+x^{2}}.

Resposta

Não é exata.
-x + \dfrac{y^{2}(1+x^{2})}{1+2x^{2}} = C

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