Verifique se a equação é exata. Se for, encontre a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar se a equação é exata e, se for (ou se houver fator integrante que a torne exata), encontrar a solução geral. A equação dada é
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
e . - A equação pode ser colocada em forma diferencial
para testar exatidão. - Temos coeficientes racionais em
e funções polinomiais em .
Passo 2
Reescrevo a equação em forma diferencial
. Parto de
Multiplicando por
obtenho
Logo escolho
de modo que a equação fica
Passo 3
Para testar exatidão calculo as derivadas parciais
e
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Derivando
em relação a
:
Como
a equação original não é exata.
Passo 4
Procuro um fator integrante que dependa apenas de
. A condição para existir
é que
Calculo o lado direito:
Simplifico cancelando
(assumindo
momentaneamente) e fazendo a soma no numerador:
Dividindo por
resulta
que depende apenas de
. Então existe
com
Integro:
Faço a substituição
,
. Então
Posso escolher a constante
, então
Passo 5
Multiplico a equação diferencial por
. Os novos coeficientes são
Passo 6
Verifico exatidão da equação multiplicada. Calculo as parciais:
e usando regra do quociente
Como
, a equação multiplicada é exata.
Passo 7
Agora existe uma função potencial
tal que
Integro
em relação a
:
A integral separa em duas partes. A primeira é
. Para a segunda faço
,
, então
Assim
Passo 8
Determino
comparando
com
. Calculo
Mas deve ser igual a
Portanto
Isolando
e simplificando (cancelando o denominador
):
Integro em
:
Passo 9
Substituo
em
. Temos
Reúno os termos em
. Faço a soma
Logo a função potencial fica, até constante,
A solução geral implícita da EDO é
, isto é
Opcionalmente, isolando
,
Resposta
Não é exata.