Obtenha a série de Fourier da função f(x)=x, \quad 0 \leq x<2 \pi e periódica de periodo 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função f(x)=x no intervalo [0,2\pi) estendida periodicamente com período 2\pi. O conteúdo envolve calcular os coeficientes
\displaystyle a_0,\;a_n,\;b_n pelas fórmulas
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calculando a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\,dx =\frac{1}{\pi}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{(2\pi)^2}{2} =\;2\pi.
Logo, o termo constante da série é \tfrac{a_0}{2}=\pi.

Passo 3

Calculando a_n para n\ge1 por partes, com u=x e dv=\cos(nx)\,dx:
a_n =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\frac{x\sin(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{2\pi} -\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx =0,
pois \sin(n\cdot0)=\sin(2n\pi)=0 e \int_{0}^{2\pi}\sin(nx)\,dx=0.

Passo 4

Calculando b_n para n\ge1 por partes, com u=x e dv=\sin(nx)\,dx:
b_n =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[-\frac{x\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{2\pi} +\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx =-\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi\cdot1}{n} =-\frac{2}{n},
pois \cos(2n\pi)=1 e \int_{0}^{2\pi}\cos(nx)\,dx=0.

Passo 5

Reunindo os coeficientes, a série de Fourier de f(x)=x fica
x =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr) =\pi +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(0\cdot\cos(nx)-\frac{2}{n}\sin(nx)\Bigr) =\pi-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}.

Resposta

x=\pi-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n},\qquad 0\le x<2\pi,
estendida com período 2\pi.

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