Verifique que y=x e^{x} é uma solução para a equação y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 no intervalo ( -\infty, \infty ).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função y = x e^x é solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = 0
no intervalo (-\infty,\infty). Para isso, vamos calcular y' e y'' e substituir na equação.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando a regra do produto:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x e^x\bigr) = x\frac{d}{dx}(e^x) + e^x\frac{d}{dx}(x) = x e^x + e^x = (x+1)\,e^x.

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter a derivada segunda:
y'' = \frac{d}{dx}\bigl((x+1)e^x\bigr) = (x+1)e^x + e^x = (x+2)\,e^x.

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' na equação diferencial:
y'' - 2y' + y = (x+2)e^x \;-\; 2\,(x+1)e^x \;+\; x e^x = e^x\bigl(x+2 -2x -2 + x\bigr) = e^x\cdot 0 = 0.
Como a combinação dá zero para todo x, concluímos que y = x e^x realmente satisfaz a equação.

Resposta

y = x e^x é solução de y'' - 2y' + y = 0 em (-\infty,\infty).

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