Seja a função
f(x, y)=\frac{2 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}
a) Calcule a derivada parcial de f em relação a x.
b) Calcule a derivada parcial de f em relação a y.
c) Interprete geometricamente o significado dessas derivadas no ponto ( x, y ).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=\frac{2x^2y}{x^2+y^2},\quad (x,y)\neq(0,0),
e pede as derivadas parciais de f em relação a x e a y, além de interpretar geometricamente o significado dessas derivadas no ponto (x,y).

Passo 2

Para calcular \partial f/\partial x, tratamos y como constante e usamos a regra do quociente. Seja
N=2x^2y,\quad D=x^2+y^2.
Então
N_x=4xy,\quad D_x=2x
e
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{N_xD - N\,D_x}{D^2} =\frac{4xy(x^2+y^2)-4x^3y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{4x y^3}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Para calcular \partial f/\partial y, fixamos x e repetimos a regra do quociente com
N_y=2x^2,\quad D_y=2y
de modo que
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{N_yD - N\,D_y}{D^2} =\frac{2x^2(x^2+y^2)-4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Geometricamente, em cada ponto (x,y):
  • \partial f/\partial x é a taxa de variação de z=f(x,y) ao mover-se paralelamente ao eixo x (com y fixo).
  • \partial f/\partial y é a taxa de variação de z=f(x,y) ao mover-se paralelamente ao eixo y (com x fixo).
Essas derivadas são as inclinações da reta tangente à superfície z=f(x,y) nas direções dos eixos.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{4x y^3}{(x^2+y^2)^2}.
b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.
c) \partial f/\partial x em (x,y) é a inclinação da superfície na direção do eixo x (mantendo y fixo) e \partial f/\partial y é a inclinação na direção do eixo y (mantendo x fixo).

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