Questão 4(2, 0 pontos)
Considere u=(1,2,-1), v=(3,0,2) e omega=(2,-1, k) :
(a) Calcule [u, v, w] em função de k
(b) Determine:
(i) O valor de k que torna os vetores coplanares
(ii) O volume do paralelepípedo para k=1

Passo 1

Resumindo o enunciado: dados u=(1,2,-1), v=(3,0,2) e omega=(2,-1,k), pede-se
(a) o produto misto [u,v,omega] em função de k
(b) (i) o valor de k que torna os vetores coplanares
(ii) o volume do paralelepípedo para k=1
O conteúdo envolvido é produto misto de vetores, cujo valor indica coplanaridade e volume de paralelepípedo.

Passo 2

Para achar [u,v,omega] = ucdot(vtimesomega), calculamos primeiro
vtimesomega = i & j & k 3 & 0 & 2 2 & -1 & k = i(0cdot k - 2cdot(-1)) - j(3cdot k - 2cdot2) + k(3cdot(-1)-0cdot2) = l(2,,-(3k-4),,-3r)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar com u=(1,2,-1):
[u,v,omega] =1cdot2 + 2cdotl(-(3k-4)r) +(-1)cdot(-3) =2 -2(3k-4) +3 =13 -6k

Passo 4

Vetores são coplanares quando o produto misto é zero. Logo, resolvemos
13 -6k = 0 Longrightarrow k = 136

Passo 5

O volume do paralelepípedo vale o valor absoluto do produto misto. Para k=1:
[u,v,omega] = 13 -6cdot1 = 7,
portanto o volume é lvert7rvert = 7.

Resposta

(a) 13 - 6k
(b)(i) k = tfrac136
(b)(ii) 7

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