Obtenha a série de Fourier da seguinte função definida no intervalo (0,2 pi)
f(x)=x sin (x)
e f possui período 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=x sin(x) com período 2π no intervalo (0,2π). Vamos usar o desenvolvimento em série real: f(x)=a₀/2+∑_{n=1}^∞[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)], obtendo as fórmulas de a_n e b_n.

Passo 2

Para achar os coeficientes usamos as integrais em (0,2π):
a0=1piintegral0^2pixsin x,dx,
an=1piintegral0^2pixsin xcos(nx),dx(n>=1),
bn=1piintegral0^2pixsin xsin(nx),dx(n>=1)

Passo 3

Calcule a₀:
Usando integral0^2pixsin x,dx=-2pi (fórmula geral integral0^2pixsin(kx)dx=-2pi/k com k=1), obtém-se
a0=1pi(-2pi)=-2
e portanto a0/2=-1.

Passo 4

Calcule a_n para n≠1 usando identidade de produtos:
sin xcos(nx)=tfrac12[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)]
Cada integral integral0^2pixsin(kx)dx=-2pi/k. Assim para n≠1:
an=12pil(-tfrac2pin+1+tfrac2pin-1r)=1n^2-1

Passo 5

Calcule o caso n=1 separadamente:
a1=1piintegral0^2pixsin xcos x,dx=12piintegral0^2pixsin2x,dx=-pi2pi=-tfrac12

Passo 6

Calcule b_n para n≠1 usando
sin xsin(nx)=tfrac12[cos((n-1)x)-cos((n+1)x)],
e integral0^2pixcos(kx)dx=0 para k≠0. Logo bn=0 para n≠1.

Passo 7

Calcule b_1 separadamente:
b1=1piintegral0^2pixsin^2x,dx =12pil(integral0^2pix,dx-integral0^2pixcos2x,dxr) =12pi(2pi^2-0)=pi2

Passo 8

Juntando tudo, obtemos
f(x)=-1+sumn=1^inftyl[ancos(nx)+bnsin(nx)r]
com
a1=-tfrac12, an=1n^2-1 (n>=2), b1=tfracpi2, bn=0 (n>=2)

Resposta

A série de Fourier de f(x)=x sin(x) é
f(x)=-1-tfrac12cos x+tfracpi2sin x+sumn=2^infty1n^2-1,cos(nx)

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