Obtenha a série de Fourier da seguinte função definida no intervalo
e
possui período
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=x sin(x) com período 2π no intervalo (0,2π). Vamos usar o desenvolvimento em série real: f(x)=a₀/2+∑_{n=1}^∞[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)], obtendo as fórmulas de a_n e b_n.
Passo 2
Para achar os coeficientes usamos as integrais em (0,2π):
Passo 3
Calcule a₀:
Usando (fórmula geral
com k=1), obtém-se
Usando
e portanto
.
Passo 4
Calcule a_n para n≠1 usando identidade de produtos:
Cada integral
. Assim para n≠1:
Passo 5
Calcule o caso n=1 separadamente:
Passo 6
Calcule b_n para n≠1 usando
e
para k≠0. Logo
para n≠1.
Passo 7
Calcule b_1 separadamente:
Passo 8
Juntando tudo, obtemos
com
Resposta
A série de Fourier de f(x)=x sin(x) é