Seja G um grupo finito e H um subgrupo de G. Mostre que a ordem de H divide a ordem de G. Em particular, a ordem de qualquer elemento g in G divide a ordem de G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se G é um grupo finito e H é um subgrupo, então |H| divide |G|. Esse é o enunciado do teorema de Lagrange em teoria de grupos e, na prática, vamos usar a ideia das classes laterais (cosets) para particionar o grupo e comparar tamanhos.

Passo 2

Primeiro, definimos a classe lateral (ou coset) à esquerda de H em G por um elemento gin G como
gH = , gh : hin H,
Mostramos que essa classe lateral tem exatamente |H| elementos, pois a aplicação
H to gH,
que manda hmapsto gh, é bijetora. A injetividade vem de que se g h1 = g h2, então multiplicando à esquerda por g^-1 h1=h2. A sobrejetividade é óbvia pela definição.

Passo 3

Em seguida, vemos que as classes laterais à esquerda de H em G particionam todo o conjunto G, ou seja, ou duas classes laterais são iguais ou são disjuntas, e a união de todas elas é exatamente G. Isso decorre de checarmos que para qualquer g,g'in G, ou gH = g'H ou gH e g'H não têm interseção. Assim, cada elemento de G pertence a uma e só uma classe lateral.

Passo 4

Como há um número finito de classes laterais e cada classe lateral tem |H| elementos, podemos escrever
|G| = l(número de cosetsr) times |H| ú
Logo, |H| divide |G| e o quociente é justamente o número de classes laterais, que chamamos de índice [G : H].

Passo 5

Por fim, para qualquer elemento gin G, o subgrupo gerado por g, denotado lang<= grang<=, é finito (já que G é finito) e tem ordem igual à ordem de g. Aplicando o teorema de Lagrange a lang<= grang<=subseteq G, concluímos que a ordem de g divide |G|.

Resposta

A ordem de qualquer subgrupo H de um grupo finito G divide a ordem de G (teorema de Lagrange), e em particular a ordem de todo elemento gin G divide |G|.

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