Seja
um grupo finito e
um subgrupo de
. Mostre que a ordem de
divide a ordem de
. Em particular, a ordem de qualquer elemento
divide a ordem de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se
é um grupo finito e
é um subgrupo, então
divide
. Esse é o enunciado do teorema de Lagrange em teoria de grupos e, na prática, vamos usar a ideia das classes laterais (cosets) para particionar o grupo e comparar tamanhos.
Passo 2
Primeiro, definimos a classe lateral (ou coset) à esquerda de
em
por um elemento
como
Mostramos que essa classe lateral tem exatamente
elementos, pois a aplicação
que manda
, é bijetora. A injetividade vem de que se
, então multiplicando à esquerda por
dá
. A sobrejetividade é óbvia pela definição.
Passo 3
Em seguida, vemos que as classes laterais à esquerda de
em
particionam todo o conjunto
, ou seja, ou duas classes laterais são iguais ou são disjuntas, e a união de todas elas é exatamente
. Isso decorre de checarmos que para qualquer
, ou
ou
e
não têm interseção. Assim, cada elemento de
pertence a uma e só uma classe lateral.
Passo 4
Como há um número finito de classes laterais e cada classe lateral tem
elementos, podemos escrever
Logo,
divide
e o quociente é justamente o número de classes laterais, que chamamos de índice
.
Passo 5
Por fim, para qualquer elemento
, o subgrupo gerado por
, denotado
, é finito (já que
é finito) e tem ordem igual à ordem de
. Aplicando o teorema de Lagrange a
, concluímos que a ordem de
divide
.
Resposta
A ordem de qualquer subgrupo
de um grupo finito
divide a ordem de
(teorema de Lagrange), e em particular a ordem de todo elemento
divide
.